Question

СРОЧНО!! ДАЮ 40 БАЛЛОВ Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, все ребра которой равны 8. К — середина А1С1. На ребре С1В1 взята точка Е так, что С1Е : ЕВ1 = 1 : 3. Точка Т — проекция точки Е на плоскость АВС. Докажите, что КТ перпендикулярна СВ

Answer 1

Для доказательства перпендикулярности линии КТ к линии СВ, мы должны показать, что вектор, параллельный линии КТ, будет перпендикулярен к вектору, параллельному линии СВ.

Рассмотрим вектор КТ. Поскольку точка Т является проекцией точки Е на плоскость АВС, вектор КТ будет перпендикулярен плоскости АВС.

Теперь рассмотрим вектор СВ. Поскольку С и В являются вершинами прямоугольного треугольника СВЕ, вектор СВ будет перпендикулярен вектору СЕ, так как СВ является гипотенузой этого треугольника, а СЕ является его катетом.

Таким образом, вектор КТ перпендикулярен плоскости АВС, а вектор СВ перпендикулярен вектору СЕ. Поскольку вектор КТ и вектор СЕ лежат в одной плоскости (плоскости АВС), и вектор СВ перпендикулярен вектору СЕ, то вектор КТ будет перпендикулярен вектору СВ.

Следовательно, линия КТ перпендикулярна линии СВ

Answer 2

Для доказательства того, что KT перпендикулярна СВ, мы можем воспользоваться свойствами треугольной призмы и рассмотреть два треугольника - KET и SVB. Во-первых, поскольку АВСА1В1С1 - правильная треугольная призма, то все ее боковые грани равны между собой. Это означает, что KS = ET и ТV = KE. Во-вторых, поскольку К - середина отрезка А1С1, то КВ1 = КС1 = 4 (поскольку длина каждого ребра призмы равна 8). В-третьих, поскольку С1Е : ЕВ1 = 1 : 3, то длина С1Е будет равна (1/4) * 8 = 2, а длина ЕВ1 будет равна (3/4) * 8 = 6. Теперь мы можем рассмотреть треугольник KET. Так как KS = ET и ТV = KE, а также КВ1 = КС1 = 4, то у треугольников KET и SVB у одинаковые стороны. Кроме того, известно, что длина С1Е равна 2, а КВ1 равно 4. Поскольку треугольник КВ1С1 перпендикулярен плоскости АВС, то KT будет являться высотой этого треугольника. Таким образом, мы можем сделать вывод, что KT перпендикулярна СВ, поскольку они являются сторонами прямоугольного треугольника КВ1С1.