Question

Помогите, пожалуйста, геометрия это не мое Дан параллелограмм ABCD, F – точка пересечения диагоналей, О – произвольная точка пространства. Доказать: 1) (OA) ⃗+(OC) ⃗=(OB) ⃗+(OD) ⃗; 2) (OF) ⃗=1/4((OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗+(OD) ⃗).

Answer 1

task/29635132  Дан параллелограмм ABCD , F – точка пересечения диагоналей ,  О – произвольная  точка    пространства.       Доказать:            1) (OA) ⃗+(OC) ⃗=(OB) ⃗+ (OD) ⃗ ; 2) (OF) ⃗=1/4((OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗+(OD) ⃗) .

Решение :  Если векторы   исходят из одной точки , то вектор суммы исходит из общей начальной точки векторов и является диагональю параллелограмма, сторонами которого являются данные векторы .             * * *  ( Сумма векторов , правило параллелограмма ) * * *

1)   (OA) ⃗+ (OC) ⃗  =2*(OF) ⃗    и     (OB) ⃗+(OD) ⃗ = 2*(OF) ⃗

значит  (OA) ⃗+ (OC) ⃗ = (OB) ⃗+(OD) ⃗

2) (1/4) * [ (OA) ⃗+(OB) ⃗+ (OC) ⃗+(OD) ⃗] =

(1/4) * [ (OA) ⃗+ (OC) ⃗+(OB) ⃗+(OD) ⃗] =(1/4) * [ 2*(OF) ⃗+2*(OF)  ]  =

(1/4) * 4*(OF) ⃗ = (OF) ⃗ .

Answer 2

Дано параллелограмм ABCD, точка F - точка пересечения диагоналей, O - произвольная точка пространства. Для доказательства первого утверждения, нужно использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делят его на две равные по площади треугольные части. Рассмотрим вектор OA и вектор OC. По определению вектора, вектор - это направленный отрезок, у которого важны его длина и направление. Так как F - точка пересечения диагоналей параллелограмма, мы можем представить вектор OF, как сумму векторов OA и OC. То есть OF = OA + AC. Теперь вспомним, что диагонали параллелограмма делят его на две равные по площади треугольные части. Можно сказать, что площади треугольников AOF и COF равны. Из этого следует, что вектор OA и вектор OC имеют равную длину и направлены в противоположные стороны. То есть, вектор OA + вектор OC = вектор OB + вектор OD. Таким образом, мы доказали первое утверждение. Для доказательства второго утверждения, мы можем воспользоваться первым утверждением. У нас уже есть уравнение OF = OA + OC. Теперь представим вектор OF как сумму всех векторов, идущих из точек A, B, C и D в точку O. То есть OF = OA + OB + OC + OD. Воспользуемся первым утверждением и заменим в уравнении OF на OA + OC: OA + OC = OA + OB + OC + OD. Сократим одинаковые векторы по обе стороны: 0 = OB + OD. Теперь домножим это уравнение на 1/4: 1/4(0) = 1/4(OB + OD). Таким образом, мы доказали второе утверждение.