Question

У прямокутний трикутник ABC з прямим кутом С вписуються усі можливі прямокутники CLXM, вершини L, X, M яких лежать на сторонах. Визначте, при якому положенні точки X довжина відрізка LM буде найменшою.

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////////////

Answer 2

Положення точки X, при якому довжина відрізка LM буде найменшою, визначається таким чином, щоб її проекція на сторону AB знаходилась в середині цієї сторони.

Позначимо точки, в яких дотикаються прямокутники до сторін AB, BC, CA відповідно як T, Q, P.

Припустимо, що точка X знаходиться в середині сторони AB.

Тоді складемо наступні рівності:
|CP| = |CL| + |LP|
|LQ| = |LM| + |MQ|

Обидві ліві частини рівності |CP| = |LQ| (так як прямокутники TLXP і QMXL вписані в одну сторону BC) можна додати і одержати:
|CP| + |LQ| = |CL| + |PL| + |LM| + |MQ|

Оскільки прямокутники CLXP і QLMX вписані в одну сторону BC, тоді правильно додати разом |PL| і |MQ|:
|CP| + |LQ| + |PL| + |MQ| = |CL| + |LP| + |LM| + |MQ|

Поширюємо наші рівності:
|AP| + |PL| = |AC|
|CQ| + |MQ| = |CB|
|MT| + |TP| = |BA|

Підставляючи ці рівності в початкове рівняння, одержимо:
|CP| + |LQ| + |AP| + |PL| + |CQ| + |MQ| + |MT| + |TP| = |CL| + |LP| + |LM| + |MQ|

Позначимо довжину сторони AB як a, сторони BC і CA як b і c відповідно.

Тоді:
|CP| = |a - c + |PL|
|LQ| = |b - c| + |MQ|
|AP| = |a - b| + |PL|
|CQ| = |b - c| + |MQ|
|MT| = |a - b| + |MQ|
|TP| = |a - c + |PL|

Розглянемо лише одну частину рівності та спростимо:
|CP| + |LQ| + |AP| + |PL| + |CQ| + |MQ| + |MT| + |TP| = |CL| + |LP| + |LM| + |MQ|

(a - c + |PL|) + (b - c + |MQ|) + (a - b + |PL|) + (b - c + |MQ|) + (a - b + |MQ|) + (a - c + |PL|) = |CL| + |LP| + |LM| + |MQ|

4a - 2b - 2c + 4|PL| + 4|MQ| = |CL| + |LP| + |LM| + |MQ|

Тепер розглянемо вираз |PL| + |MQ|. Це сума довжини перпендикулярів, проведених з точки P і Q відповідно на сторону AB (додаються дві перпендикулярні відстані, оскільки точка X знаходиться в середині сторони AB).

Оскільки прямокутники TPML і QMXL вписані в одну сторону BC, а |PL| + |MQ| = const, то відрізок LM буде найкоротшим, коли буде максимальним відрізок |PL| + |MQ|. Вказування максимального значення дорівнює вказування довжини граничної прямокутної фігури в одному напрямку (в нашому випадку - точки P і Q). Тобто найкоротший відрізок LM буде, коли точка X буде знаходитись в середині сторони AB.