Question

В прямоугольнике ABCD провели перпендикуляр AK к диагонали BD. Угол BAK в 3 раза меньше угла KAD. Докажите, что треугольник AKM – равнобедренный, где M – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD.

Answer 1

BAK/KAD=1/3 => BAK=90/4

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90.

BDA =90-ABD =BAK

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

△AMD - равнобедренный, MAD=BDA

KAM= 90-BAK-MAD =90/2 =45

KMA=90-45=45

KMA=KAM, △AKM - равнобедренный

Answer 2

#### Задача В прямоугольнике ABCD провели перпендикуляр AK к диагонали BD. Угол BAK в 3 раза меньше угла KAD. Докажите, что треугольник AKM – равнобедренный, где M – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. #### Решение Для доказательства равнобедренности треугольника AKM, нам потребуются некоторые свойства прямоугольника и перпендикуляров. **Свойства прямоугольника:** 1. Противоположные стороны прямоугольника равны. 2. Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в их средней точке. **Свойства перпендикуляра:** 1. Перпендикуляр к стороне прямоугольника проходит через середину этой стороны. Воспользуемся этими свойствами для доказательства равнобедренности треугольника AKM. **Шаг 1: Доказательство равенства сторон AK и KM** Поскольку AK является перпендикуляром к BD, и AK пересекает BD в точке K, то AK делит BD пополам (по свойству перпендикуляра). Также, по свойству противоположных сторон прямоугольника, сторона AB равна стороне CD, и сторона AD равна стороне BC. Поскольку AK делит BD пополам, и сторона AB равна стороне CD, то сторона AK равна стороне CK. Таким образом, мы получили равенство сторон AK и KM: AK = KM. **Шаг 2: Доказательство равенства углов KAM и KMA** Из условия задачи нам дано, что угол BAK в 3 раза меньше угла KAD. Так как угол BAK является вертикальным углом для угла KAD, то угол BAK и угол KAD равны. Поэтому угол BAK также в 3 раза меньше угла KAM. Из равенства сторон AK и KM (доказанного на шаге 1) и равенства углов KAM и KMA, следует, что треугольник AKM является равнобедренным, где M – точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Таким образом, треугольник AKM – равнобедренный.