Question

В прямоугольном треугольнике (∠В = 90°) отрезок BD - высота, проведенная к стороне AC, AD:DC = 9:40, BD = 4√5. Прямая a, параллельная BD, делит треугольник АВС на две равновеликие части. Найдите длину отрезка прямой а, заключенного между сторонами треугольника АВС.

Answer 1

Ответ:

7

Объяснение:

Пусть AD = 9x, a CD = 40x. Тогда высота в квадрате => 80 = 9x*40x => x^2 = 80/360 => x = √2/3

AD = 9*√2/3 = 3√2

CD = 40*√2/3 = 40√2/3

Найдем площадь треугольника ABC потом разделим ее на два получим площадь одной части, а так как прямая а образует подобный треугольник с треугольником BDC найдем его площадь и коэф. подобия ну и найдем а.

S = 49√2/3 * 4√5 * 1/2 = 98√10/3     S/2 = 49√10/3

Sbdc = 40√2/3*4√5 * 1/2 =  80√10/3

коэф. подобия в квадрате k^2 = (80√10/3):49√10/3 = 80/49; k = 4√5/7

a = 4√5 : 4√5/7 = 7

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и параллельных прямых. Исходные данные: 1. \(\angle B = 90°\), что означает, что треугольник ABC прямоугольный. 2. Отрезок BD - высота, проведенная к стороне AC. 3. \(\frac{AD}{DC} = \frac{9}{40}\), что означает, что отношение длины отрезка AD к длине отрезка DC равно 9:40. 4. \(BD = 4\sqrt{5}\). 5. Прямая a параллельна BD и делит треугольник ABC на две равновеликие части. Для начала найдем длины отрезков AD и DC. Поскольку \(\frac{AD}{DC} = \frac{9}{40}\), мы можем представить длины этих отрезков как \(9x\) и \(40x\), соответственно, где x - некоторый множитель. Используем теорему Пифагора в треугольнике ABC: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] Поскольку \(\angle B = 90°\), \(AB = BD = 4\sqrt{5}\), и \(BC = AC - AB\). Подставляем известные значения: \[ AC^2 = (4\sqrt{5})^2 + (AC - 4\sqrt{5})^2 \] Раскрываем скобки: \[ AC^2 = 80 + AC^2 - 8\sqrt{5}AC + 80 \] \[ 0 = 160 - 8\sqrt{5}AC \] \[ AC = \frac{160}{8\sqrt{5}} = \frac{20}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{5} \] Теперь мы знаем, что AC тоже равно \(4\sqrt{5}\), и треугольник ABC является равнобедренным. Поскольку прямая a параллельна BD и делит треугольник на две равновеликие части, она также делит сторону AC пополам. Таким образом, длина отрезка прямой a, заключенного между сторонами треугольника ABC, равна \( \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5} \).