Question

В трапеции ABCD AB и CD - основания. Диагонали пересекаются в точке O. BD = 18 см, AO:OC = 1:2. Найти BO и OD.

Answer 1

Посмотрите предложенное решение, ответы  6 и 12.

Решение основано на 3-м признаке подобия треугольников.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойствами трапеции и пропорциями. Давайте обозначим следующие величины:

1. Пусть AB и CD будут основаниями трапеции ABCD. 2. Пусть O - точка пересечения диагоналей AC и BD. 3. Пусть BD равно 18 см.

Теперь давайте введем дополнительные обозначения:

Пусть AO будет x см, тогда OC будет 2x см, так как соотношение AO:OC составляет 1:2.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику ABO:

AB^2 = AO^2 + BO^2

Также, мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику CDO:

CD^2 = OC^2 + OD^2

Теперь подставим известные значения:

1. AB = CD, так как это основания трапеции.

2. AO = x, OC = 2x (из условия).

3. BO и OD - искомые величины.

Теперь у нас есть две уравнения:

1. AB^2 = x^2 + BO^2 2. CD^2 = (2x)^2 + OD^2

Так как AB = CD, мы можем объединить оба уравнения:

x^2 + BO^2 = 18^2 4x^2 + OD^2 = 18^2

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений относительно BO и OD. Давайте начнем с первого уравнения:

x^2 + BO^2 = 18^2

BO^2 = 18^2 - x^2

BO = √(18^2 - x^2)

Теперь вставим это значение BO во второе уравнение:

4x^2 + OD^2 = 18^2

OD^2 = 18^2 - 4x^2

OD = √(18^2 - 4x^2)

Теперь у нас есть выражения для BO и OD в зависимости от x. Осталось найти значение x, а затем подставить его в эти выражения. Для этого мы можем воспользоваться тем фактом, что AO:OC = 1:2, то есть:

x / 2x = 1 / 2

x = 2x / 2 = x

Таким образом, x = x. Это значит, что x может быть любым числом, и выражения для BO и OD останутся общими для всех значений x.

Итак, BO = √(18^2 - x^2) и OD = √(18^2 - 4x^2), где x - любое положительное число.