Question

В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного в него круга в отношении 8: 5, начиная от вершины. Вычислите (в см) радиус вписанной окружности, если высота треугольника, проведенная к основанию, равна 36 см.

Answer 1

Пусть боковая сторона будет 8х+5х, тогда основание треугольника образованного высотой будет 5х(отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны). Следовательно для этого прямоугольного треугольника мы можем записать (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы). Если у - высота, у²+25х²=169х; у²=144х²; у=12х. Отсюда, зная длину высоты (36см) мы получаем значения боковых сторон 8*3+5*3=39см; основание 5*3+5*3=30см. Осталось вычислить площадь и периметр, а через них и радиус вписанной окружности или по формуле Герона.
S=1/2*36*30=540
р=30+2*39=108
r=2*S/p=1080/108=10
Радиус вписанной окружности равен 10см.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойства вписанного треугольника и равнобедренного треугольника.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а сторона треугольника равна a.

Из свойств вписанного треугольника, мы знаем, что точка касания делит боковую сторону в отношении радиуса к расстоянию от точки касания до основания треугольника.

Таким образом, мы можем записать:

a/2 = 8r/(8+5)

Дано, что высота треугольника, проведенная к основанию, равна 36 см. Так как треугольник равнобедренный, то высота является биссектрисой и делит основание на две равные части.

Таким образом, основание треугольника равно 2 * 36 = 72 см.

Теперь мы можем решить уравнение:

72/2 = 8r/(8+5)

36 = 8r/13

8r = 36 * 13

8r = 468

r = 468/8

r = 58.5

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 58.5 см.