Question

у прямокутному трикутнику проведена висота до гіпотенузи яка ділить її на дві частини одна з яких більше на 7 сантиметрів за іншу, катети відносяться як 3:4 знайти радіус кола вписаного в нього​

Answer 1

Решение .

ΔABC ,  ∠С=90°  ,  СН ⊥ АВ ,  обозначим CH = h  ,  АН = НВ +7  ,    

ВС : АС = 3 : 4   ⇒   BC = 3m  ,  AC = 4m  .

Найти :  r  - радиус вписанной окружности .

Формула для нахождения радиуса вписанной окружности по сторонам  прямоугольного треугольника :  r = (a+b-c)/2 .

Значит ,  r = (AC+BC-AB)/2  .  Найдём стороны ΔАВС .

Обозначим  х = НВ  ,  тогда  АН = х+7  .

Запишем тройку подобных треугольников :

ΔАВС ~ ΔACH ~ ΔCBH  по двум углам , так как   ∠САН= ∠ВСН  ,  

∠СВН = ∠АСН  ,  ∠СНВ = ∠СНА = ∠АСВ = 90°  , так как

∠САН + ∠СВН = 90° ,  ∠САН+∠АСН = 90°  ,   ∠СВН + ∠ВСН = 90°  .

Из подобия треугольников следует пропорция :

$\bf \dfrac{x}{h}=\dfrac{h}{x+7}=\dfrac{3m}{4m}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x}{h}=\dfrac{h}{x+7}=\dfrac{3}{4}\ \ ,\\\\\\3(x+7)=4h\ \ ,\ \ 4x=3h\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf 3x+21=4h\\\bf 4x=3h\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 3x+21=4h\\\bf h=\dfrac{4x}{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 3x+21=4\cdot \dfrac{4x}{3}\\\bf h=\dfrac{4x}{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 3x-\dfrac{16x}{3}=-21\\\bf h=\dfrac{4x}{3}\end{array}\right$

$>                     </p> <p>Гипотенуза  <strong>АВ = АН + НС = х + (х+7)=9+(9+7) = 25 </strong></p> <p>Из  ΔСВН по теореме Пифагора :  </p> <p><strong>ВC² = BH² + CH² = x²+h² = 9² + 12² = 225  ,    BC = 15</strong></p> <p>Из  ΔСAН по теореме Пифагора : </p> <p><strong>AC² = AH² + CH² = (x+7)²+h² = (9+7)² + 12² = 400  ,    CB = 20 </strong></p> <p>Найдём радиус вписанной окружности :</p> <p><strong>r = </strong>( 15 + 20 - 25 )/2 =10/2 <strong>= 5 </strong></p> <p><strong>Ответ:  r = 5 .                                                                                </strong></p> </div> <div style=$

Answer 2

Давайте позначимо довжину меншої частини висоти як "x" сантиметрів, тоді довжина більшої частини висоти буде "x + 7" сантиметрів. За умовою задачі, катети відносяться як 3 до 4.

Тобто, якщо один катет дорівнює 3x, то інший дорівнює 4x. Довжина гіпотенузи в прямокутному трикутнику може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора:

гіпотенуза^2 = (3x)^2 + (4x)^2 гіпотенуза^2 = 9x^2 + 16x^2 гіпотенуза^2 = 25x^2

Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює 5x сантиметрів.

Радіус кола вписаного в трикутник може бути знайдений за допомогою формули:

радіус = площа трикутника / півпериметр трикутника

Спершу знайдемо площу трикутника. Він ділиться висотою на два прямокутних трикутника, кожен з яких має катети 3x і 4x:

Площа прямокутного трикутника = (1/2) * (3x) * (4x) = 6x^2

Півпериметр трикутника дорівнює половині суми довжин сторін:

Півпериметр = (5x + 3x + 4x) / 2 = (12x) / 2 = 6x

Отже, радіус кола вписаного в трикутник дорівнює:

радіус = (площа трикутника) / (півпериметр трикутника) = (6x^2) / (6x) = x

Тепер ми знаємо, що радіус кола вписаного в трикутник дорівнює "x". Ми повинні знайти значення "x". За умовою задачі, одна частина висоти більша за іншу на 7 см:

x + 7 = 4x - 7

Розв'яжемо це рівняння для "x":

7 + 7 = 4x - x 14 = 3x

x = 14 / 3

Отже, x = 4.67 см.

Таким чином, радіус кола вписаного в трикутник дорівнює 4.67 см (округлено до двох десяткових знаків).