Question

1. Знайдіть кут між векторами a (-1; -1) і b (2; 0) 2. Перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей ромба до його сторони, ділить її на відрізки завдовжки 4 см і 25 см. Знайдіть площу ромба

Answer 1

Ответ:

Для знаходження кута між векторами a і b можна скористатися формулою скалярного добутку:

a · b = |a| * |b| * cos(θ),

де a · b - скалярний добуток векторів a і b,

|a| і |b| - довжини векторів a і b,

θ - кут між векторами a і b.

Вектор a (-1; -1) має довжину |a| = sqrt((-1)^2 + (-1)^2) = sqrt(2).

Вектор b (2; 0) має довжину |b| = sqrt(2^2 + 0^2) = 2.

Скалярний добуток a · b = (-1 * 2) + (-1 * 0) = -2.

Замінюємо отримані значення у формулу:

-2 = sqrt(2) * 2 * cos(θ).

Виключаємо cos(θ):

cos(θ) = -2 / (sqrt(2) * 2) = -1 / sqrt(2) = -sqrt(2) / 2.

Отже, кут між векторами a і b дорівнює θ = arccos(-sqrt(2) / 2).

Площа ромба може бути знайдена за допомогою формули:

S = d1 * d2 / 2,

де d1 і d2 - довжини діагоналей ромба.

За умовою задачі, перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей ромба до його сторони, ділить її на відрізки завдовжки 4 см і 25 см. Отже, діагоналі ромба мають довжини 4 см і 25 см.

Підставимо отримані значення у формулу площі ромба:

S = 4 cm * 25 cm / 2 = 100 cm^2.

Отже, площа ромба дорівнює 100 квадратних сантиметрів.

Объяснение:

Answer 2

1. Щоб знайти кут між векторами a і b, можна використовувати формулу скалярного добутку:

   $\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{\|a\| \|b\|}$

   Де a і b - це вектори, a · b - скалярний добуток векторів, |a| - довжина вектора a, а |b| - довжина вектора b.

   Вектор a = (-1, -1), вектор b = (2, 0).

   Довжина вектора a: |a| = √((-1)² + (-1)²) = √2. Довжина вектора b: |b| = √(2² + 0²) = 2.

   Скалярний добуток векторів a і b: a · b = (-1 * 2) + (-1 * 0) = -2.

   Тепер можемо знайти кут $\theta$:

   $\cos(\theta) = \frac{-2}{\sqrt{2} * 2} = \frac{-1}{2}$

   Тепер знайдемо кут $\theta$, використовуючи арккосинус (обернений косинус):

   $\theta = \arccos\left(\frac{-1}{2}\right)$

   Значення $\arccos\left(\frac{-1}{2}\right)$ приблизно дорівнює 120 градусів.

   Отже, кут між векторами a і b дорівнює приблизно 120 градусів.

2. Діагоналі ромба перетинаються в центрі ромба, і точка перетину є центром симетрії ромба. Тобто, відстань від центру ромба до будь-якої сторони ромба дорівнює половині відстані від центру ромба до протилежної сторони.

За умовою, відрізок, проведений з точки перетину діагоналей ромба до його сторони, поділений на два відрізки: один довжиною 4 см і інший довжиною 25 см.

Таким чином, відстань від центру ромба до сторони ромба дорівнює 4 см + 25 см = 29 см.

Зараз, для знаходження площі ромба, нам потрібно знати довжину однієї зі сторін. Але відомо, що ромби мають всі сторони однакової довжини.

Отже, площа ромба дорівнює S = a², де "a" - довжина сторони ромба.

Але ми знаємо, що відстань від центру ромба до сторони дорівнює 29 см, і ця відстань є відстанню від центру до середини сторони ромба. Отже, довжина сторони ромба дорівнює 2 * 29 см = 58 см.

Тепер можемо обчислити площу ромба:

S = a² = (58 см)² = 3364 см²

Отже, площа ромба дорівнює 3364 квадратних сантиметри.