Question

ДАЮ 100 БАЛОВ!!! 1)У рівнобічну трапецію вписано коло. Бічна сторона точкою дотику ді-литься на відрізки завдовжки 16 см і 9 см. Знайдіть площу трапеції.2) Перпендикуляр, проведений з точки перетину діагоналей ромба до йогосторони, ділить цю сторону на відрізки завдовжки 3 см і 27 см. Знайдітьплощу ромба.3) Центр кола, описаного навколо чотирикутника ABCD, належать йогостороні СD. Знайдіть кути даного чотирикутника, якщо <ABD = 34°,<BAC = 41°.​

Answer 1

1.

В точке касания — боковая сторона делится на отрезки: GA = 9; BG = 16.

Отрезки BE & BG — проведены с одной точки — B, и также являются касательными вписанной окружности.

Теорема о касательный, проведённых из одной точки такова: Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Изюминка здесь в том, что в точках касания — отрезки друг другу равны, что и означает, что: BE ≡ BG = 16.

Так как трапеция равнобедренная, то: HC = 16 => HC ≡ EC = 16 => BC = BE+EC = 16+16 = 32.

Одно и то же с отрезками: GE ≡ AF = 9; FD ≡ DH = 9 ⇒ AD = 9+9 = 18.

Теперь нам известны все стороны трапеции, то есть площадь (по теореме Брахмагупты) равна:

$\displaystyle\\S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)^2}\\\\p = \frac{a+b+2c}{2}\\\\\\p = \frac{32+18+2*25}{2}\\p = 50\\\\ S = \sqrt{(50-32)(50-18)(50-25)^2}\\S = \sqrt{360000} = 600cm^2.$

Вывод: S = 600см².

2. Перпендикуляр проведенный к стороне прямоугольного треугольника — является высотой проведенной к гипотенузе. Оно имеет такое свойство:

$\displaystyle\\h =\sqrt{3*27}\\\\h = \sqrt{81} \Rightarrow h=9.$

Тогда половина диагонали AC, или просто — гипотенуза AE — равна: $\displaystyle\\\\c = \sqrt{a^2+b^2}\\\\c = \sqrt{AF^2+EF^2}\\\\c = \sqrt{27^2+10^2} \Rightarrow\\\\c = \sqrt{829} = 28.8cm.$

Теперь найдём катет ED:

$ED = \sqrt{AD^2-EA^2}\\ED = \sqrt{30^2-28.8^2}\\ED = \sqrt{70.7} \Rightarrow ED = 8.4cm.$

Значит, площадь треугольника AED равна:

$\displaystyle\\S_{AED} = \frac{ED*EA}{2}\\\\S = \frac{28.8*8.4}{2}\\\\S = 121cm^2.$

Так как диагонали ромба делят ромб на 4 равные части, то: $S_{ABCD} = 121*4 = 484cm^2.$

Вывод: Площадь равна 484см².

3.

Так как центр описанной окружности лежит на стороне CD, то CD — диаметр.

Так как CD — диаметр, то: <CBD = <CAD = 90° (оба вписанных угла — опираются на диаметр, то есть они равны градусной мере половины полукруга — 180/2 = 90°).

Так как: , то:

$></p> <p></p> <p>Около четырёхугольника можно описать окружность только в том случае, если сумма внутренних противоположных углов равна 180°, то есть: </p> <p><img src=$

Answer 2

Дякую за 100 балів! Давайте вирішимо кожну задачу окремо:

1. Площа рівнобічної трапеції вписаної в коло обчислюється як сума площі кола та площі трикутника, утвореного бісектрисою одного з кутів трапеції та радіусом кола.

Почнемо знайдення радіусу кола: половина довжини меншої бази трапеції, яка дорівнює 9 см, це 4.5 см.

Тепер знайдемо площу трикутника. Оскільки ми знаємо довжину одного катета (4.5 см) і гіпотенузу (16 см), можемо використовувати теорему Піфагора:

$a^2 + b^2 = c^2$ $4.5^2 + b^2 = 16^2$ $b^2 = 256 - 20.25$ $b^2 = 235.75$ $b = √235.75 ≈ 15.36 см$

Тепер, ми можемо знайти площу трикутника:

$Площа трикутника = 0.5 * (один катет) * (інший катет) = 0.5 * 4.5 см * 15.36 см ≈ 34.62 см^2$

Тепер знайдемо площу кола. Радіус кола вже відомий (4.5 см). Формула для площі кола:

$Площа кола = π * (радіус)^2 = π * (4.5 см)^2 ≈ 63.62 см^2$

Зараз знайдемо площу т