Question

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони і утворює з основою трапеції кут 30°. Знайдіть плошу трапеції, якщо радус кола, описаного навколо неї, дорівнює R. З малюнком та поясненням

Answer 1

Ответ:

Площа трапеції дорівнює

$\bf \frac{3 {R}^{2} \sqrt{3} }{4}$ ед²

Объяснение:

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони і утворює з основою трапеції кут 30°. Знайдіть плошу трапеції, якщо радус кола, описаного навколо неї, дорівнює R.

Нехай ABCD - дана трапеція. BC || AD, AB=CD. AC⟂CD, ∠CAD = 30°.

1) Так як ∠CAD є вписаним у коло і дорівнює 90°, то він спирається на діаметр. AD - діаметр кола, у яке вписано трапецію. AD=2R.

2) Проведемо висоту CH. За властивістю рівнобічної трапеції:

$\boxed {AH = \dfrac{AD + BC}{2} }$

3) З прямокутного трикутника ACD (∠C=90°) за означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника маємо:

$cos\angle CAD = \dfrac{AC}{AD}$

Тоді AC =AD•cos30°=2R • √3/2 = R√3

4) З прямокутного трикутника ACH (∠H=90°):

• за означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника:

$cos\angle CAH = \dfrac{AH}{AC}$

$AH = AC\cos30^\circ = \bf \dfrac{3R}{2}$

• за означенням синуса гострого кута прямокутного трикутника:

$sin\angle CAH = \dfrac{CH}{AC}$

$CH = AC\sin30^\circ = \bf \dfrac{R \sqrt{3} }{2}$

5) Площа трапеції:

$\boxed {\bf S = \frac{AD + BC}{2}\cdot CH}$

$S = AH\cdot CH = \dfrac{3R}{2} \cdot \dfrac{R \sqrt{3} }{2} = \bf \dfrac{3 {R}^{2} \sqrt{3} }{4}$ ед²

#SPJ1

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спростимо ситуацію, подивившись на трапецію та коло, описане навколо неї. Ми знаємо, що діагональ трапеції перпендикулярна до одній з бічних сторін і утворює кут 30° з основою. Давайте позначимо вершини та сторони трапеції:

AB і CD - основи трапеції (причому AB - коротка основа, а CD - довга основа). BC і AD - бічні сторони трапеції. AC - діагональ трапеції, яка є радіусом описаного кола. O - центр описаного кола. R - радіус описаного кола.

Тепер давайте розглянемо трикутник AOC, де OA і OC - радіуси описаного кола, а кут AOC дорівнює 30°. Ми можемо використовувати тригонометричні функції для обчислення сторін цього трикутника.

З формули для косинуса: cos(30°) = OC / R

Ми знаємо, що cos(30°) = √3/2, тому ми можемо розв'язати для OC: OC = (√3/2) * R

Тепер ми знаємо діагональ трапеції (AC), яка дорівнює радіусу описаного кола (OC). Тобто, AC = (√3/2) * R.

Площа трапеції може бути знайдена за формулою: S = (1/2) * (сума основ * висота) = (1/2) * (AB + CD) * h

Для знаходження висоти h, ми можемо розглянути правокутний трикутник ABC, де відомі катети AB і BC (половина різниці довжин основ) та гіпотенуза AC.

З формули Піфагора: AC^2 = AB^2 + BC^2

AC^2 = (AB + CD)^2 + (AB - CD)^2

Знаючи, що AC = (√3/2) * R, ми можемо виразити h (висоту) через це рівняння: h = (2 * AC) / (√3 * R)

Тепер ми можемо підставити значення в площу трапеції: S = (1/2) * (AB + CD) * h S = (1/2) * (AB + CD) * (2 * AC) / (√3 * R)

S = (AB + CD) * AC / (√3 * R)

Тепер ми можемо підставити значення для AC, яке ми знайшли раніше: S = (AB + CD) * [(√3/2) * R] / (√3 * R)

Спростимо це вираз: S = (AB + CD) * (1/2)

Отже, площа трапеції дорівнює половині суми довжин короткої і довгої основи.