Question

В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 6, а апофема равна 5. Найдите радиус вписанной в пирамиду сферы.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Сфера вписанный в правильную пирамиду  касается основания пирамиды в его центре и апофем пирамиды. Сечение пирамиды по ее апофемам есть равнобедренный треугольник со сторонами, равными апофемам т.е 5 и основанием, равным 6 В этот треугольник вписана окружность (сечение сферы).

Найдем по теореме Герона площадь треугольника:

S = √р*(р-а)*(р-b)*(р-с) где р -  полупериметр.

Полупериметр треугольника равен:

р= (а+b+c)/2 = (5+5+6)/2=8

отсюда S=√8*(8-5)(8-5)(8-6)=√8*3*3*2=√144=12

Тогда радиус вписанной в треугольник окружности ( сферы) равен r=S/p= 12/8 = 1,5              

Answer 2

Для нахождения радиуса вписанной в пирамиду сферы, вам потребуется использовать формулу для радиуса вписанной сферы в правильной четырехугольной пирамиде. Формула для радиуса вписанной сферы в пирамиде выглядит следующим образом:

$r = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{h^2}{a^2} + \frac{4}{3}}$

где:

• $r$ - радиус вписанной сферы,
• $a$ - длина ребра основания пирамиды,
• $h$ - апофема пирамиды.

В вашем случае:

• Длина ребра основания ($a$) равна 6.
• Апофема ($h$) равна 5.

Подставляя значения в формулу:

$r = \frac{6}{2} \sqrt{\frac{5^2}{6^2} + \frac{4}{3}}$

Выполняя вычисления:

$r = 3 \sqrt{\frac{25}{36} + \frac{4}{3}}$

$r = 3 \sqrt{\frac{25}{36} + \frac{48}{36}}$

$r = 3 \sqrt{\frac{73}{36}}$

$r = 3 \cdot \frac{\sqrt{73}}{6}$

$r = \frac{\sqrt{73}}{2}$

Таким образом, радиус вписанной в пирамиду сферы равен $\frac{\sqrt{73}}{2}$.