Question

Найти координаты точки пересечения плоскости, проходящей через точки A=(1;3;-1), B=(5;1;1), C=(4;2;2) c прямой, проходящей через точки D=(5;2;-1), E=(23;-7;17). Ответ запишите в виде "(12;-34;5)". Без пробелов.

Answer 1

Даны точки плоскости A=(1;3;-1), B=(5;1;1), C=(4;2;2) и точки прямой

D=(5;2;-1), E=(23;-7;17).

Находим уравнение плоскости АВС по трём точкам.

x - 1   y - 3     z + 1 |     x – 1     y - 3

4          -2             2 |        4          -2

3          -1             3 |        3          -1  =  -6(x - 1) + 6(y - 3) - 4(z + 1) -

- 12(y - 3) + 2(x - 1) + 6(z + 1) = -6x + 6 + 6y - 18 - 4z - 4 - 12y + 36 + 2x - 2 + 6z + 6 = -4x - 6y + 2z + 24 = 0.  

Сократим на -2 и получаем уравнение плоскости АВС:

2x + 3y - z - 12  = 0.

Находим уравнение прямой, проходящей через точки D и E. Вектор DE: (18; -9; 18).

(x – 5)/18 = (y – 2)/(-9) = (z + 1)/18.

Представим это уравнение в параметрическом виде:

(x – 5)/18 = (y – 2)/(-9) = (z + 1)/18 = t.

x = 18t + 5,

y = -2t + 9,

z = 18t – 1.

Подставим эти значения в уравнение плоскости АВС,

2(18t + 5) + 3(-2t + 9) – (18t – 1) - 12  = 0.

36t + 10 – 6t + 27 – 18t + 1 – 12 = 0.

12t + 26 = 0,

t = -26/12 = -13/6.

Подставим это значение в координаты прямой DE.

x = 18(-13/6) + 5 = -39 + 5 = -34,

y = -2(-13/6) + 9 = 13/3 + 9 = 40/3,

z = 18(-13/6) – 1 = -39 – 1 = -40.

Ответ: точка (-34; (40/3); -40).

Answer 2

Чтобы найти точку пересечения плоскости и прямой, нужно сначала найти уравнение плоскости и уравнение прямой, а затем решить их систему.

1. Уравнение плоскости:

Для нахождения уравнения плоскости, через три точки $A$, $B$ и $C$, можно воспользоваться определителем:

$$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ \end{vmatrix} = 0$$

Подставим координаты точек $A(1, 3, -1)$, $B(5, 1, 1)$ и $C(4, 2, 2)$ в определитель:

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 3 & z + 1 \\ 4 - 1 & 2 - 3 & 2 + 1 \\ 5 - 1 & 1 - 3 & 1 + 1 \\ \end{vmatrix} = 0$$

Вычислим определитель и раскроем его:

$$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 3 & z + 1 \\ 3 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 2 \\ \end{vmatrix} = 0$$

$$(x - 1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - (y - 3) \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + (z + 1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 0$$

$$(x - 1)(-2 - 9) - (y - 3)(-6 - 12) + (z + 1)(-6 + 4) = 0$$

$$-11x + 18y - 2z + 33 = 0$$

2. Уравнение прямой:

Прямая, проходящая через точки $D(5, 2, -1)$ и $E(23, -7, 17)$, может быть представлена параметрически как:

$$\begin{align*} x &= 5 + t(23 - 5) = 5 + 18t \\ y &= 2 + t(-7 - 2) = 2 - 9t \\ z &= -1 + t(17 + 1) = -1 + 18t \end{align*}$$