Question

Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она проходит.

Answer 1

Продлим медиану BD за сторону AC, к которой она проведена на её длину. Получим точку E
ABCE параллелограмм, в котором BE=2BD, CE=AB. В треугольнике BCE сторона BE меньше чем BC+CE, следовательно, BD меньше чем (BC+CE)/2=(AB+BC)/2

Answer 2

Для того чтобы доказать это утверждение, давайте рассмотрим треугольник ABC и его медиану AD, где D - середина стороны BC.

Пусть AB и AC - две стороны треугольника, между которыми проходит медиана AD. Пусть a, b и c - длины соответствующих сторон треугольника, где a - длина стороны BC, b - длина стороны AC, и c - длина стороны AB.

Медиана AD делит сторону BC пополам, поэтому BD = CD = a/2. Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD. По неравенству треугольника в этом треугольнике сумма длин двух его сторон всегда больше длины третьей стороны:

AB + BD > AD c + a/2 > AD

Аналогично, в треугольнике ACD:

AC + CD > AD b + a/2 > AD

Теперь объединим оба неравенства:

c + a/2 > AD b + a/2 > AD

Теперь сложим эти два неравенства:

(c + a/2) + (b + a/2) > AD + AD

Упростим выражение:

(c + b) + a > 2AD

Теперь давайте разделим обе стороны неравенства на 2:

(c + b) + a > 2AD (c + b + a) / 2 > AD

Итак, у нас есть неравенство:

(c + b + a) / 2 > AD

Это неравенство означает, что полусумма длин сторон AB и AC (то есть (c + b + a) / 2) больше длины медианы AD. Исходя из этого, можно сделать вывод, что медиана треугольника меньше полусуммы длин сторон AB и AC, между которыми она проходит.