Question

Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы, равен R. Найдите высоту этой призмы, зная, что ее диагональ образует с боковой гранью угол a.

Answer 1

Рассмотрим диагональное сечение призмы, оно будет представлять из себя прямоугольник вписанный в окружность радиуса R, так как диагональ призмы будет являться его диаметром , то D = 2R

угол, который образует диагональ призмы с боковой гранью, равен углу, который образует диагональ призмы с диагональю боковой грани (так как последняя является ее ортогональной проекцией) 

теперь рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей черз диагональ призмы и диагональ боковой грани призмы : это сечение - прям. треугольник.
находим диагональ боковой грани:
d = cosα * D = 2R* cosα

находим ребро основания из того же прямоуг. треугольника:
l = sinα * D = 2R * sinα

высота нашей призмы равна боковой грани, а ее мы можем найти пот. Пифагора, зная d и l:
h = √ (d² - l²) =√(4R² *cos²α - 4R²* sin²α) = 2R√(cos²α - sin²α)

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические соотношения между радиусом сферы, описанной вокруг правильной четырехугольной призмы, и углами, которые образуют диагональ призмы с боковыми гранями.

Пусть дана правильная четырехугольная призма, и её диагональ образует угол `a` с боковой гранью. Мы знаем, что вокруг призмы описана сфера радиуса `R`. Сфера описана вокруг призмы, если все вершины призмы лежат на поверхности этой сферы.

Теперь рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через центр сферы и перпендикулярной боковой грани призмы. Это сечение будет кругом, так как радиусы сферы равны между собой и равны радиусу описанной сферы. Диаметр этого круга равен диагонали призмы.

Поэтому, диаметр сечения призмы равен `2R`, где `R` - радиус описанной сферы. Диагональ призмы, которая образует угол `a` с боковой гранью, будет равна диаметру этого круга.

Мы знаем, что угол в центре круга в два раза больше угла на окружности, образуемого диагональю призмы и боковой гранью. Таким образом:

2a = 360°

Теперь мы можем найти значение угла `a`:

a = 360° / 2 = 180°

Теперь мы знаем, что угол между диагональю призмы и боковой гранью равен 180°.

Поскольку призма правильная, каждая из боковых граней является равнобедренным треугольником. Угол между диагональю и одной из боковых сторон такого треугольника равен половине угла при вершине. Таким образом, угол между диагональю и боковой гранью правильной четырехугольной призмы равен 90°.

Теперь мы знаем, что угол `a` равен 180°, и угол между диагональю и боковой гранью призмы равен 90°. Поскольку угол `a` - это угол между диагональю и боковой гранью призмы, то это также является углом между диагональю и одной из боковых сторон призмы.

Теперь мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту призмы. Рассмотрим треугольник, образованный диагональю призмы, его высотой (h), и половиной одной из боковых сторон. У нас есть следующее соотношение:

tan(90°) = h / (0.5 * сторона)

Так как tg(90°) = бесконечность, то у нас будет:

бесконечность = h / (0.5 * сторона)

h = бесконечность * 0.5 * сторона

Таким образом, высота призмы равна бесконечности, и она зависит от размера стороны призмы (сторона).

В этом контексте "бесконечность" означает, что высота призмы не ограничена и будет бесконечно увеличиваться при увеличении размера стороны призмы.