Question

Висоти трикутника ABC перетинаються в точці Н. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо радіус кола, описаного навколо трикутника АНВ, дорівнює 9 см.

Answer 1

Через вершины ABC проведем параллельные сторонам. Получим четыре равных треугольника - описанные окружности равны. Докажем, что три окружности пересекаются в ортоцентре ABC.

Рассмотрим пару ABC1 и A1BC.

Хорды и дуги A1B и BC1 равны - вписанные углы A1HB и BHC1 равны.

BH - биссектриса и медиана A1HC1, значит и высота, BH⊥A1C1.

BH⊥AC,  BH - высота ABC.

Аналогично в других парах AH и CH - высоты ABC и H - ортоцентр.

Итак, окружность AHB равна окружности ABC, радиус 9.

// Если ABC - прямоугольный, то ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла. Окружности на катетах касаются, но очевидно проходят через ортоцентр.

Answer 2

Для знаходження радіуса кола, описаного навколо трикутника ABC, нам потрібно використовувати теорему про кількість точок перетину відсікуючих (колінеарних) висот у трикутнику. За цією теоремою, точки перетину трьох висот у трикутнику утворюються в одній і тій же точці, яку називають ортоцентром. У нашому випадку, ортоцентр позначається як H.

Радіус кола, описаного навколо трикутника ABC (означається як R), можна знайти за допомогою формули:

R = (a * b * c) / (4 * S),

де a, b і c - довжини сторін трикутника, S - його площа.

Ми знаємо, що радіус кола, описаного навколо трикутника АНВ (позначається як R1), дорівнює 9 см.

Тепер давайте знайдемо площу трикутника ABC. Площу можна знайти за допомогою формули Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

де p - половина периметра трикутника, тобто (a + b + c) / 2.

Тепер ми можемо знайти площу трикутника ABC:

p = (AB + BC + CA) / 2 = (9 + 9 + 9) / 2 = 27 / 2 = 13.5.

S = √(13.5 * (13.5 - 9) * (13.5 - 9) * (13.5 - 9)) = √(13.5 * 4.5 * 4.5 * 4.5) = √(1363.8125) ≈ 36.93.

Тепер, коли у нас є площа S та довжина сторін трикутника (AB, BC, CA), ми можемо знайти радіус R:

R = (AB * BC * CA) / (4 * S) = (9 * 9 * 9) / (4 * 36.93) ≈ 18.48.

Отже, радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює приблизно 18.48 см.