Question

докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны

Answer 1

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Поэтому Отрезки от вершин до точек касания равны, как обозначено на рисунке.
AB + CD = x + y + a + b
BC + AD = y + a + x + b,
значит AB + CD = BC + AD

Answer 2

Чтобы доказать, что в четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, давайте рассмотрим следующий аргумент:

Предположим, у нас есть окружность с центром O и радиусом R, а внутри этой окружности вписан четырехугольник ABCD. Пусть стороны четырехугольника делят окружность на четыре дуги: AB делит окружность на дуги AB, BC делит окружность на дуги BC, и так далее.

Теперь давайте рассмотрим длины дуг, образованных этими сторонами:

1. Длина дуги AB равна длине стороны AB.
2. Длина дуги BC равна длине стороны BC.
3. Длина дуги CD равна длине стороны CD.
4. Длина дуги DA равна длине стороны DA.

Поскольку угол в центре окружности, соответствующий каждой из этих дуг, равен половине угла между сторонами четырехугольника, мы можем сказать, что угол ABC равен углу ADC, и угол BCD равен углу BAD.

Теперь, используя теорему синусов для каждого из этих треугольников (ABC и ADC), мы можем записать следующие равенства:

1. Для треугольника ABC: AB / sin(∠ABC) = 2R, где ∠ABC - угол ABC.

2. Для треугольника ADC: AD / sin(∠ADC) = 2R, где ∠ADC - угол ADC.

Теперь давайте рассмотрим противоположные стороны четырехугольника: AB и CD, а также BC и DA.

Из уравнения (1) можно выразить sin(∠ABC):

sin(∠ABC) = AB / (2R).

Из уравнения (2) можно выразить sin(∠ADC):

sin(∠ADC) = AD / (2R).

Теперь давайте сравним отношения AB / (2R) и AD / (2R):

AB / (2R) = sin(∠ABC) = sin(∠ADC) = AD / (2R).

Заметим, что в обоих случаях нашли равенство AB / (2R) и AD / (2R). Теперь умножим обе стороны на 2R:

AB = AD.

Аналогично, можно показать, что BC = CD.

Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны:

AB + CD = AD + BC.

Таким образом, суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.