Question

У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 30° Установити відповідність між довжинами більших основ та площами трапецій​

Answer 1

У рівнобічній трапеції діагональ є бісектрисою гострого кута й утворює з більшою основою кут 30°. Нам потрібно встановити відповідність між довжинами більших основ та площами трапецій.

Позначимо більшу основу трапеції як "a", меншу основу як "b", а довжину діагоналі як "d". За умовою, діагональ є бісектрисою гострого кута, тому ми можемо розглядати два прямокутних трикутники: один з них має кут 30°, а інший - кут 60°.

Застосуємо тригонометричну функцію синус до першого прямокутного трикутника:

sin(30°) = b / d

Так як sin(30°) = 1/2, ми отримуємо:

1/2 = b / d

Звідси ми можемо виразити b:

b = d / 2

Тепер розглянемо другий прямокутний трикутник з кутом 60°. Застосуємо тригонометричну функцію синус до цього трикутника:

sin(60°) = a / d

Так як sin(60°) = √3/2, ми отримуємо:

√3/2 = a / d

Звідси ми можемо виразити a:

a = (√3/2) * d

Тепер ми можемо використати формулу для площі трапеції:

S = (a + b) * h / 2

Де "h" - висота трапеції. Оскільки рівнобічна трапеція, то висота є бісектрисою гострого кута і розділяє трапецію на два рівнобедрених трикутники. Тому, висота дорівнює половині довжини діагоналі:

h = d / 2

Підставимо значення a, b і h у формулу площі:

S = ((√3/2) * d + d / 2) * (d / 2) / 2

Спростимо це вираз:

S = (d * (√3/2 + 1/2) * d / 2) / 2

S = (d * (√3 + 1) * d / 4) / 2

S = (d^2 * (√3 + 1) / 8)

Отже, площа трапеції пропорційна квадрату довжини діагоналі і коефіцієнту (√3 + 1) / 8.

Тепер ми можемо встановити відповідність між довжинами більших основ та площами трапецій. Зауважимо, що площа трапеції залежить від квадрату довжини діагоналі. Тому, якщо ми збережемо співвідношення між довжинами більших основ, то площа трапеції також буде збережена.

Таким чином, встановлюється пряма пропорційність між квадратом довжини більшої основи і площею трапеції.

Answer 2

Давайте позначимо дані:

• Нехай AB і CD - більша та менша основи рівнобічної трапеції ABCD.
• Нехай AC - діагональ трапеції, яка є бісектрисою гострого кута, і вона утворює з більшою основою кут 30 градусів.

Ми знаємо, що діагональ трапеції розділяє трапецію на дві прямокутні трикутники, і вони схожі один до одного і до вихідної трапеції.

Таким чином, ми можемо записати співвідношення між сторонами та кутами:

1. Великий трикутник: ABC

   • Гіпотенуза (AC) = менша основа (CD)
   • Гострий кут (ACB) = 30 градусів

2. Малий трикутник: ADC

   • Гіпотенуза (AC) = більша основа (AB)

Тепер ми можемо використовувати тригонометричні функції для знаходження відношення між довжинами більшої основи та меншої основи. Зокрема, ми можемо використовувати тригонометричну функцію тангенс:

Великий трикутник (ABC): $\tan(30^\circ) = \frac{CD}{AC}$

Малий трикутник (ADC): $\tan(30^\circ) = \frac{AB}{AC}$

Оскільки $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, ми можемо об'єднати обидві рівності:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CD}{AC} = \frac{AB}{AC}$

Тепер ми можемо виразити відношення між більшою та меншою основою:

$\frac{AB}{CD} = \frac{AC}{AC} = 1$

Отже, відповідність між довжинами більших основ та площами трапецій така: якщо ви помножите довжину меншої основи (CD) на число, то ви отримаєте відповідну довжину більшої основи (AB), і площа трапецій залишиться незмінною.