Question

угол между биссектрисой и диагональю,исходящими из одной вершины прямоугольника,равен 30 градусов,а площадь треугольника,отделенного биссектрисой от прямоугольника,равна 12,5 см2. найдите площадь прямоугольника.

Answer 1

На большей стороне биссектриса прямого угла отсекает отрезок, равный боковой (меньшей) стороне.
Оставшийся отрезок большей стороны является стороной треугольника, в котором можно определить биссектрису, а два прилегающие к ней угла известны: 30° и 180-45 = 135°.
Биссектрису определим из площади: обозначим боковую сторону х.
Площадь 12,5 = (1/2)*х*х       х² = 25      х = 5.
Биссектриса будет равна 5√2.
По теореме синусов определяем отрезок большей стороны:
в = ((5√2)*sin 30) / sin(180-30-135) =  13.660254 см.
Тогда большая сторона равна 5 +  13.660254 =  18.660254 см.
Площадь прямоугольника равна 5* 18.660254 =  93.30127 см².

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

Пусть $ABCD$ - это прямоугольник, где $AB$ и $BC$ - биссектриса и диагональ, исходящие из одной вершины, и пусть $\angle ABD = \angle CBD = 30^\circ$.

Также пусть $E$ - точка пересечения биссектрисы и диагонали, и $F$ - точка, где биссектриса пересекает сторону прямоугольника $AD$.

Теперь, давайте определим площади треугольников:

1. Площадь треугольника $ABF$: Мы знаем, что $\angle ABD = 30^\circ$, так что $\angle DBF = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Тогда $\angle AFB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Треугольник $ABF$ - равнобедренный, так как $\angle AFB = 30^\circ = \angle ABF$. Площадь треугольника $ABF$ равна $12.5 \, \text{см}^2$.

2. Площадь треугольника $BCE$: Треугольник $BCE$ также равнобедренный, так как $\angle BCF = \angle BFC = 30^\circ$. Площадь треугольника $BCE$ равна половине площади треугольника $BCD$, так как они имеют общую сторону и высоту. Площадь треугольника $BCD$ равна $2 \cdot 12.5 \, \text{см}^2 = 25 \, \text{см}^2$. Поэтому площадь треугольника $BCE$ равна $25 \, \text{см}^2 / 2 = 12.5 \, \text{см}^2$.

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольника $ABCD$, мы можем сложить площади треугольников $ABF$, $BCE$ и прямоугольника $ADEF$: $S_{ABCD} = S_{ABF} + S_{BCE} + S_{ADEF} = 12.5 \, \text{см}^2 + 12.5 \, \text{см}^2 + S_{ADEF} = 25 \, \text{см}^2 + S_{ADEF}$

Теперь нам нужно найти площадь треугольника $ADEF$. Мы знаем, что угол $\angle ADF$ также равен $30^\circ$, и $\angle AFD = 90^\circ$, так как это угол прямоугольника $ABCD$. Таким образом, треугольник $ADEF$ - равнобедренный.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти с использованием формулы: $S_{ADEF} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot EF$

Мы знаем, что $AD = 2 \cdot AE$ (так как $AE$ - это половина диагонали), и у нас есть площадь треугольника $ABF$, поэтому: $S_{ADEF} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot AE \cdot EF = AE \cdot EF$

Теперь мы знаем, что площадь треугольника $ADEF$