Question

Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 4см і 10 см, а кути при більшій основі 45° і 60°.

Answer 1

Ответ .

ABCD - трапеция ,  ∠АDC = 45° ,  ∠BAD=60°  ,  ВC=4 cм ,  AD=10 cм .

Найти S трапеции .

 Проведём перпендикуляры BK⊥AD , CH⊥AD .  Обозначим высоты трапеции через  h=ВК=СН .

BCHK - прямоугольник  ⇒  КН=4 см .

Обозначим  х=HD . Тогда ΔСDH - прямоугольный с ∠СDH=45° . Тогда и ∠DCH=45°   ⇒   ΔCDH - равнобедренный , СН=DH=x  , то есть  h=x  .

АК=AD-КН-DH   ⇒   AK=10-4-x=6-x  

Рассмотрим ΔАВК , ∠АКВ=90°  ∠ВАК=60°  .

tg∠BAK = BK/AK   ⇒   tg60° = h/(6-x)  ,  √3 = h/(6-x)  ,  h=(6-x)·√3  

Приравняем значения высоты :

(6-x)·√3 = х   ⇒   6√3 = х+х√3  ,  6√3 = х · (1+√3)  ,   х = 6√3 / (1+√3)  ,

х = 6√3 · (1-√3) /(1-3)  ,  х = 6√3 · (1-√3)/(-2)  ,  х = 6√3 · (√3-1)/2  ,

х =3√3 · (√3-1)  ⇒   h =3√3 · (√3-1) = 9 - 3√3  

Площадь трапеции равна  

S = (10+4)/2 · (9-3√3) = 7 · (9-3√3) = 63 - 21√3  (см²)  ≈  26,6 (см²)  

Answer 2

Площа трапеції може бути обчислена за допомогою наступної формули:

S = (a + b) * h / 2,

де: S - площа трапеції, a і b - довжини основ трапеції (в даному випадку 4 см і 10 см), h - висота трапеції.

Ваше завдання полягає в тому, щоб знайти висоту трапеції. Для цього нам знадобляться дані про кути при більшій основі.

Перше, знайдемо висоту трапеції за допомогою кутів при більшій основі:

Спочатку перетворимо кути з градусів в радіани, оскільки формула для висоти використовує тангенс кута:

1. Для кута 45°: тангенс 45° = 1, тобто, tg(45°) = 1.

2. Для кута 60°: тангенс 60° = √3, тобто, tg(60°) = √3.

Тепер, ми можемо обчислити висоту трапеції, використовуючи трикутник із тангенсами:

Для першого кута (45°): tg(45°) = h / b, 1 = h / 10, h = 10.

Для другого кута (60°): tg(60°) = h / a, √3 = h / 4, h = 4√3.

Тепер, коли у нас є обидві можливі висоти трапеції, ми можемо обчислити площу за формулою:

S = (a + b) * h / 2.

Для першої висоти (h = 10 см): S = (4 + 10) * 10 / 2 = 14 * 10 / 2 = 140 / 2 = 70 см².

Для другої висоти (h = 4√3 см): S = (4 + 10) * (4√3) / 2 = 14 * (4√3) / 2 = 56√3 / 2 = 28√3 см².

Отже, площа трапеції дорівнює 70 см² або 28√3 см², в залежності від вибору висоти.