Question

Вычислить косинус угла между векторами а {-3;6} и в {3;-6}

Answer 1

Значит так, решать будем через скалярное произведение векторов.
оно считается или как |a|*|b|*cos a, или как сумма произведений координат векторов
$|a|= \sqrt{(-3)^2+6^2} = \sqrt{45} =3 \sqrt{5}$
$|b|= \sqrt{3^2+(-6)^2}= \sqrt{45} =3 \sqrt{5}$
$(a,b)=-3*3+6*-6=-45$
$cos \alpha = \frac{-45}{3\sqrt{5} *3\sqrt{5}} =- \frac{45}{45} =-1$
косинус угла между векторами = -1

Answer 2

Для вычисления косинуса угла между двумя векторами используем следующую формулу:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}}$

Где:

• $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.
• $\|\mathbf{a}\|$ - длина вектора $\mathbf{a}$.
• $\|\mathbf{b}\|$ - длина вектора $\mathbf{b}$.

Длина вектора $\mathbf{a}$ вычисляется следующим образом:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

Длина вектора $\mathbf{b}$ вычисляется аналогично:

$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$

Для векторов $\mathbf{a} = (-3, 6)$ и $\mathbf{b} = (3, -6)$ имеем:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Скалярное произведение векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ вычисляется следующим образом:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = (-3)(3) + (6)(-6) = -9 - 36 = -45$

Теперь можем найти косинус угла $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}}{{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}} = \frac{{-45}}{{3\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}}} = \frac{{-45}}{{45}} = -1$

Таким образом, косинус угла между векторами $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ равен -1.