Question

На продолжении стороны AD за точку D параллелограмма ABCD отмечена точка M так, что AD=MD. Докажите, что параллелограмм ABCD и треугольник ABM равновелики.

Answer 1

Площадь параллелограмма равна AD*h, а площадь треугольника ABM равна 1/2 * АМ*h = 1/2 * 2 AD*h = AD*h. Высота к основанию у параллелограмма и у треугольника одна и та же.. Вывод: фигуры равновелики.

Answer 2

Для доказательства равновеликости параллелограмма ABCD и треугольника ABM воспользуемся свойствами параллелограмма и условием, что AD = MD.

1. Сначала заметим, что в параллелограмме ABCD противоположные стороны равны по длине: AB = DC и AD = BC.

2. Также, по условию AD = MD, что означает, что точка M находится на срединном перпендикуляре к стороне AD. Таким образом, AM = MD.

3. Теперь рассмотрим треугольник ABM. У него две стороны равны по длине: AM = MD (по условию) и AB (по построению).

4. Также в параллелограмме ABCD AB = DC, поэтому сторона ABM, проведенная к AB, параллельна стороне BM, и угол ABM равен углу BCD (по свойству параллельных линий).

Таким образом, у нас есть две стороны треугольника ABM, которые равны соответственно двум сторонам параллелограмма ABCD (AM = MD и AB = DC), и угол ABM, равный углу BCD.

Исходя из этих фактов, треугольник ABM подобен треугольнику BCD по стороне-угол-стороне (SAS), что означает равновеликость этих треугольников. Таким образом, треугольник ABM равновелик треугольнику BCD.

Теперь мы знаем, что треугольник ABM равновелик треугольнику BCD. Поскольку BC = AD и углы при основании параллелограмма равны, то треугольник BCD равновелик треугольнику CAD.

Итак, треугольники ABM и CAD равновелики. Поскольку ABCD - параллелограмм, треугольники BCD и CAD равновелики, следовательно, треугольники ABM и BCD также равновелики.

Таким образом, треугольник ABM равновелик параллелограмму ABCD.