Question

Точка удалена от каждой из вершин квадрата на см, а от каждой из его сторон на . Найдите расстояние от данной точки до плоскости квадрата.

Answer 1

Находим третью сторону по Пифагору, доказываем, что она равна половине срединного перпендикуляра квадрата, по половине срединного перпендикуляра и расстоянии от стороны квадрата до точки, находим расстояние от т. до плоскости опять по пифагору

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте предположим, что сторона квадрата равна $a$ см. Пусть данная точка находится на расстоянии $h$ см от плоскости квадрата.

Так как точка удалена от каждой вершины квадрата на $\sqrt{2}$ см (по диагонали) и от каждой стороны на $\frac{a}{2}$ см, мы можем нарисовать следующую картину:

Рисунок квадрата с отмеченными расстояниями

Таким образом, у нас есть два треугольника: один прямоугольный треугольник с гипотенузой $\sqrt{2}a$ (от вершины к вершине квадрата) и второй прямоугольный треугольник с гипотенузой $a$ (от стороны квадрата). Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту $h$ от плоскости квадрата до данной точки.

Для первого треугольника:

$(\sqrt{2}a)^2 = (\frac{a}{2} + h)^2 + (\frac{a}{2} + h)^2$

Для второго треугольника:

$a^2 = (\frac{a}{2} + h)^2 + h^2$

Решим эти уравнения относительно $h$.

1. Рассмотрим первое уравнение:

$2a^2 = 2\left(\frac{a}{2} + h\right)^2$ $a^2 = \left(\frac{a}{2} + h\right)^2$ $a = \frac{a}{2} + h$ $h = \frac{a}{2}$

2. Теперь подставим $h = \frac{a}{2}$ во второе уравнение:

$a^2 = \left(\frac{a}{2} + \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$ $a^2 = a^2 + \frac{a^2}{4}$ $a^2 = \frac{5a^2}{4}$ $h = \frac{a}{2}$

Таким образом, расстояние от данной точки до плоскости квадрата составляет $\frac{a}{2}$ см.