Question

Знайти довжину лiнii, по якiй площина z = 2 - y перетинае сферу x² + (y + 1)² + (z - 2)² = 25

Answer 1

Любое пересечение сферы - это окружность.

Находим расстояние от центра сферы до плоскости.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0   используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| √A2 + B2 + C2  

Подставим в формулу данные:

Координаты центра сферы (это точка М) получаем из уравнения сферы: М(0; -1; 2). Уравнение плоскости в общем виде: у + z - 2 = 0.

Коэффициенты равны: А = 0, В = 1, С =  1, Д = -2.

d =   |0·0 + 1·(-1) + 1·2 + (-2)| /√(0² + 1² + 1²)  =   |0 - 1 + 2 - 2| √(0 + 1 + 1)  =

=   1 /√2  =   √2/ 2  ≈ 0.7071067.

Отсюда находим радиус окружности, по которой пересекается сфера.

r = √(R² - d²) = √(5² - (1/√2)²) = √(25 - (1/2)) = √(49/2) = 7/√2 = 7√2/2.

Ответ: L = 2πr = 2π*(7√2/2) = 7√2π.

Answer 2

Для знаходження довжини лінії перетину площини і сфери можна скористатися параметричним поданням цієї лінії та використовувати це подання для обчислення довжини. Параметричне подання лінії можна отримати шляхом розв'язання системи рівнянь для площини і сфери.

Спочатку ми маємо рівняння площини:

$z = 2 - y$

І рівняння сфери:

$x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 25$

Підставимо в рівняння сфери вираз для z з рівняння площини:

$x^2 + (y + 1)^2 + (2 - y - 2)^2 = 25$

Спростимо це рівняння:

$x^2 + (y + 1)^2 + (-y)^2 = 25$

$x^2 + y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25$

$x^2 + 2y^2 + 2y - 24 = 0$

Тепер ми можемо використовувати параметричне подання цієї лінії. Нехай $x = x(t)$, $y = y(t)$, $z = z(t)$ буде параметричним поданням.

Підставимо це параметричне подання в рівняння площини:

$z(t) = 2 - y(t)$

Тепер можемо використовувати параметричне подання для підставлення у рівняння сфери та знаходження значень параметрів. Після цього можна використати параметричне подання для обчислення довжини лінії:

$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} dt$

де $t_1$ і $t_2$ - це межі параметра t, які визначають лінію перетину.

Обчислення цього інтегралу може бути досить складним завданням, і часто використовуються чисельні методи для його наближення.