Question

Целые числа a,b,c,d удовлетворяют равенству a2 +b2+c2=d2 доказать что числа abc делится на 4

Answer 1

Квадрат числа при делении на 4 может иметь остаток только 0 или 1,
то а²+b²+c² при делении на 4 тоже может иметь остаток только 0 или 1 (ведь а²+b²+c²=d²). Это может получиться только, когда числа а², b², c² имеют остатки 0,0,0 или 1,0,0 (с точностью до перестановки), т.е. среди чисел а, b, c имеется как минимум два четных, т.е. аbc кратно 4.

Answer 2

Давайте рассмотрим различные возможные остатки при делении целых чисел на 4:

1. Если a и b оба четные или оба нечетные, то a^2 и b^2 делятся на 4, так как они будут кратны 4. Следовательно, a^2 + b^2 также будет делиться на 4.

2. Если одно из чисел a и b четное, а другое нечетное, то a^2 и b^2 будут кратны 4 и 1 соответственно. Следовательно, a^2 + b^2 будет делиться на 4.

3. Если c четное, то c^2 будет кратно 4, так как (2k)^2 = 4k^2 для некоторого целого числа k. Если c нечетное, то c^2 будет иметь вид (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1, и оно также будет делиться на 4.

Теперь мы знаем, что каждый из членов a^2, b^2 и c^2 в равенстве a^2 + b^2 + c^2 = d^2 делится на 4. Таким образом, сумма a^2 + b^2 + c^2 также будет делиться на 4, и, следовательно, число d^2 также будет делиться на 4.

Теперь мы доказали, что a^2 + b^2 + c^2 и d^2 оба делятся на 4, а значит, разделим обе стороны равенства на 4:

(a^2 + b^2 + c^2) / 4 = (d^2) / 4

(a^2 + b^2 + c^2) / 4 = (d^2 / 4)

(a^2 + b^2 + c^2) / 4 = (d/2)^2

Теперь левая сторона равенства (a^2 + b^2 + c^2) / 4 является целым числом, и она делится на 4. Это означает, что abc делится на 4.