Question

Напишіть рівняння площини, відносно якої симетричні точки F (-1 ; 3 ; -2) i B (3 ; 1 ; -4)

Answer 1

Эта плоскость должна быть перпендикулярна отрезку FB и проходить через его середину.

Находим координаты точки М как середины отрезка FB.

F (-1 ; 3 ; -2), B (3 ; 1 ; -4)   Точка М(1; 2; -3).

Направляющий вектор n отрезка FB является нормальным вектором искомой плоскости. То есть, координаты вектора FB будут коэффициентами А, В и С в общем уравнении плоскости.

F (-1 ; 3 ; -2), B (3 ; 1 ; -4)   n = (4; -2; -2).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

nx(x - xA) + ny(y - yB) + nz(z - zC) = 0

Подставим данные и упростим выражение:

4 x - 1  + (-2) y - 2  + (-2) z - (-3)  = 0

4x - 2y - 2z - 6 = 0  после сокращения на 2, получаем:

2x - y - z - 3 = 0.

Answer 2

Для знаходження рівняння площини, відносно якої симетричні точки F (-1, 3, -2) і B (3, 1, -4), можна використовувати середнє значення координат цих точок, оскільки площина буде проходити через середню точку між цими двома точками.

Середня точка між F і B буде мати координати, які є середніми значеннями координат F і B:

Середня точка (x₀, y₀, z₀) = ((-1 + 3)/2, (3 + 1)/2, (-2 - 4)/2) = (1, 2, -3)

Тепер, коли у нас є середня точка (x₀, y₀, z₀), можемо записати рівняння площини, використовуючи нормальний вектор (a, b, c) до цієї площини та координати середньої точки:

Рівняння площини: a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0

Нормальний вектор (a, b, c) до площини можна отримати як вектор, спрямований від середньої точки до однієї з точок F або B (в даному випадку, допустимо, що візьмемо F). Тобто, (a, b, c) = (F - середня точка) = (-1 - 1, 3 - 2, -2 - (-3)) = (-2, 1, 1).

Підставимо ці значення в рівняння площини:

-2(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - (-3)) = 0

-2x + 2 + y - 2 + z + 3 = 0

-2x + y + z + 3 = 0

Отже, рівняння площини, відносно якої симетричні точки F (-1, 3, -2) і B (3, 1, -4), виглядає так:

-2x + y + z + 3 = 0.