Question

Продолжения боковых сторон АВ и СD трапеции АВСD, длина большего основания АD которой равна 1, пересекаются в точке К. Касательная KL к окружности, проходящей через точки В, С, К ,пересекает прямую АD в точке L так, что LK= √2. Найти АL.

Answer 1

                          Решение : ////////////////////////////////

Answer 2

Давайте разберем данную задачу шаг за шагом.

1. Поскольку продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$, а касательная $KL$ проходит через эту точку, это означает, что $K$ - это точка касания окружности, проходящей через точки $B$, $C$ и $K$, с $AB$ и $CD$.

2. Так как $AD = 1$, а $KL = \sqrt{2}$, это означает, что $AL + LD = 1$ и $AL - LD = \sqrt{2}$. Вычитая эти уравнения, мы получаем:

$2LD = 1 - \sqrt{2}$ $LD = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

3. Теперь, поскольку $K$ - точка касания окружности и $KL$ - касательная, то $LD$ также является длиной секущей части от точки $K$ до окружности. Поскольку $LK = \sqrt{2}$ и $LD = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$, то $KD = LK - LD = \sqrt{2} - \frac{1 - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $AKD$. Применяя теорему Пифагора, мы можем найти $AK$:

$AK^2 = AD^2 + KD^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{2}\right)^2$ $AK^2 = 1 + \frac{3 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{7 + 2\sqrt{2}}{4}$

5. Таким образом, $AK = \sqrt{\frac{7 + 2\sqrt{2}}{4}}$.

Это и есть ответ: $AK = \sqrt{\frac{7 + 2\sqrt{2}}{4}}$.