Question

Прямоугольник со сторонами 8 см и 10 см вращается вокруг прямой , проходящей через середины больших сторон. Найти объём тела вращения

Answer 1

Ответ:

Объяснение: Если прямоугольник вращается вокруг линии, кот делит длинную сторону пополам, то телом вращения будет цилиндр с высотой 8 см и радиусом основания 10÷2=5 см.

Vцил= Sосн·h. Основание - окружность Sосн=πR²

Vцил=πR²·h=3.14·5²·8=628 (см²)

Answer 2

Для нахождения объема тела вращения прямоугольника вокруг прямой, проходящей через середины больших сторон, вы можете использовать метод вращения. В данном случае прямоугольник будет вращаться вокруг его более длинной стороны (10 см). Объем тела вращения можно найти с помощью интеграла.

Формула для объема вращаемой фигуры при вращении вокруг горизонтальной оси (перпендикулярной прямоугольнику) выглядит следующим образом:

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx$

где:

• $a$ и $b$ - границы интегрирования, то есть интервал, на котором происходит вращение (в данном случае, от 0 до 8 см, так как прямоугольник расположен вдоль оси X).
• $y$ - расстояние от точки на горизонтальной оси до ближайшей точки прямоугольника.

В данном случае $y$ будет равно половине высоты прямоугольника, так как вращение происходит вокруг середины большей стороны.

Высота прямоугольника $h = 8$ см, поэтому $y = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь мы можем вычислить объем:

$V = \pi \int_{0}^{8} 4^2 dx$

$V = \pi \int_{0}^{8} 16 dx$

$V = 16\pi \int_{0}^{8} dx$

$V = 16\pi \cdot \left[ \frac{x}{1} \right]_0^8$

$V = 16\pi \cdot \left(8 - 0\right)$

$V = 16\pi \cdot 8$

$V = 128\pi$

Таким образом, объем тела вращения прямоугольника со сторонами 8 см и 10 см вокруг прямой, проходящей через середины больших сторон, равен $128\pi$ кубическим сантиметрам.