Question

Доведіть що коли центр вписаного кола трикутника належить його висоті то цей трикутник рівнобедрений​

Answer 1

Все просто. Известный факт, что центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла. Но тк он лежит и на высоте выходящей из этой же вершины , то биссектриса и высота проходят через две одинаковые точки. Дальше аксиома:через две точки можно провести только одну прямую. Вывод: биссектриса является высотой. Значит он равнобедренный.

Answer 2

Припустимо, що у нас є трикутник ABC, в якому центр вписаного кола (центр інсцентра) I належить його висоті, тобто висоті, проведеній з вершини A. Наша мета - довести, що трикутник ABC є рівнобедреним.

Позначимо довжини сторін трикутника ABC так: AB = c BC = a CA = b

Також, позначимо довжини відповідних висот як h1, h2 і h3, де h1 - висота, проведена з вершини A.

Оскільки центр вписаного кола I належить висоті, проведеній з вершини A, то точка I лежить на відстані h1 від сторони BC.

Також, маємо відомі формули для площі трикутника через висоти: S = (1/2) * a * h1 S = (1/2) * b * h2 S = (1/2) * c * h3

де S - площа трикутника ABC.

Оскільки S однакова для всіх трьох виразів, ми можемо записати: a * h1 = b * h2 = c * h3

Тепер звернімо увагу на вираз a * h1. Оскільки I - центр вписаного кола, відомо, що відстань від точки I до сторін трикутника пропорційна довжинам цих сторін. Тобто:

a * h1 = b * h1 = c * h1

Ми отримали, що a * h1 = b * h1 = c * h1 і a * h1 = b * h2 = c * h3. Тепер поділимо одне на інше:

(a * h1) / (a * h1) = (b * h2) / (c * h3)

1 = (b * h2) / (c * h3)

Таким чином, ми отримали, що b * h2 = c * h3.

Тепер ми маємо систему двох рівнянь:

1. a * h1 = b * h1 = c * h1
2. b * h2 = c * h3

З рівняння 1 випливає, що a = b = c, оскільки всі висоти h1, h2 і h3 не можуть бути рівними нулю.

Отже, ми довели, що сторони трикутника ABC рівні одна одній, тобто трикутник є рівнобедреним.