Question

На продолжении стороны BC треугольника ABC за точку С выбрана точка A1, на продолжении стороны АС за точку А - точка В1, на продолжении стороны АВ за точку В - точка С1. Найдите отношение площади треугольника А1В1С1 к площади треугольника АВС, если |А1С|:|СВ|=|В1А|:|АС|=|С1В|:|ВА|=2:3

Answer 1

Высоты из вершин A1 и C к прямой AB относятся как 5/3

(Высоты параллельны и отсекают от сторон угла подобные треугольники.)

Основания C1B и AB относятся как 2/3

Площади A1BC1 и ABC относятся как 5/3 *2/3 =10/9

Аналогично площади треугольников C1AB1 и B1CA1 составляют 10/9 от площади ABC.

S_A1B1C1 =S_ABC +3*10/9 S_ABC =13/3 S_ABC

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать отношение площадей треугольников А1В1С1 и АВС и знать отношения длин отрезков AC1, CB1 и BA1 к соответствующим сторонам треугольника ABC.

Дано: |А1С|:|СВ| = |В1А|:|АС| = |С1В|:|ВА| = 2:3

Обозначим длину отрезка AC1 как 2x, длину отрезка CB1 как 3y и длину отрезка BA1 как 3z. Теперь мы можем выразить длины сторон треугольника ABC через x, y и z:

AB = 3z BC = 3y CA = 2x

Теперь мы можем найти площади треугольников ABC и A1B1C1:

Площадь треугольника ABC (S_ABC) можно вычислить, используя полупериметр и формулу Герона:

s_ABC = (AB + BC + CA) / 2 = (3z + 3y + 2x) / 2

S_ABC = √[s_ABC * (s_ABC - AB) * (s_ABC - BC) * (s_ABC - CA)]

Площадь треугольника A1B1C1 (S_A1B1C1) также можно вычислить, используя те же стороны, но с учетом отношений:

A1B1 = 3z B1C1 = 2x C1A1 = 3y

s_A1B1C1 = (A1B1 + B1C1 + C1A1) / 2 = (3z + 2x + 3y) / 2

S_A1B1C1 = √[s_A1B1C1 * (s_A1B1C1 - A1B1) * (s_A1B1C1 - B1C1) * (s_A1B1C1 - C1A1)]

Теперь мы можем найти отношение S_A1B1C1 к S_ABC:

Отношение = S_A1B1C1 / S_ABC = [√[s_A1B1C1 * (s_A1B1C1 - A1B1) * (s_A1B1C1 - B1C1) * (s_A1B1C1 - C1A1)]] / [√[s_ABC * (s_ABC - AB) * (s_ABC - BC) * (s_ABC - CA)]]

Подставим значения s_A1B1C1, A1B1, B1C1, C1A1, s_ABC, AB, BC и CA:

Отношение = [√[((3z + 2x + 3y) / 2) * ((3z + 2x + 3y) / 2 - 3z) * ((3z + 2x + 3y) / 2 - 2x) * ((3z + 2x + 3y) / 2 - 3y)]] / [√[((3z + 3y + 2x) / 2) * ((3z + 3y + 2x) / 2 - 3z) * ((3z + 3y + 2x) / 2 - 3y) * ((3z + 3y + 2x) / 2 - 2x)]]

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: √[((3z + 2x + 3y) / 2) * ((3z - 3z + 2x + 3y - 2x) / 2) * ((3z - 3z + 2x - 2x + 3y) / 2) * ((3z + 2x - 3y) / 2)] = √[(2x * 3y * 3z * (3z + 2x - 3y)) / 8]

Знаменатель: √[((3z + 3y + 2x) / 2) * ((3z - 3z + 3y + 2x - 3y) / 2) * ((3z - 3z + 3y - 3y + 2x) / 2) * ((3z + 3y + 2x - 2x) / 2)] = √[(2x * 3y * 3z * (3z + 3y - 2x)) / 8]

Теперь мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе:

Отношение = √[(2x * 3y * 3z * (3z + 2x - 3y)) / 8] / √[(2x * 3y * 3z * (3z + 3y - 2x)) / 8]

Раскроем обе корни:

Отношение = √[(2x * 3y * 3z * (3z + 2x - 3y)) / (2x * 3y * 3z * (3z + 3y - 2x))]

Множители 2x, 3y, и 3z сокращаются:

Отношение = √[(3z + 2x - 3y) / (3z + 3y - 2x)]

Теперь мы знаем отношение площадей треугольников A1B1C1 и ABC:

Отношение = √[(3z + 2x - 3y) / (3z + 3y - 2x)]

Исходя из заданных отношений |А1С|:|СВ| = |В1А|:|АС| = |С1В|:|ВА| = 2:3, мы также имеем:

|А1С| = 2x, |СВ| = 3y, |В1А| = 3z, |АС| = 3z, |С1В| = 2x, |ВА| = 3y

Таким образом, мы видим, что значения x, y и z соответствуют заданным отношениям, и вышеопределенное отношение площадей равно:

Отношение = √[(3z + 2x - 3y) / (3z + 3y - 2x)] = √[(3z + 2(2x) - 3(3y)) / (3z + 3(3y) - 2(2x))] = √[(3z + 4x - 9y) / (3z + 9y - 4x)]

Теперь, зная значения x, y и z, мы можем вычислить это отношение.