Question

Пж срочно даю 100 балов. Пускай стороны четырёхугольника равны а,b,c,d, а его площадь равняется S. Докажите, что S<=1/4 *(a+c)(b+d) <= - меньше либо равно

Answer 1

Решение на картинке.

Answer 2

Давайте докажем это неравенство пошагово.

Известно, что стороны четырёхугольника равны a, b, c и d, а его площадь равна S. Мы хотим доказать, что S ≤ 1/4 * (a+c)(b+d).

1. Рассмотрим выражение (a+c)(b+d). Раскроем скобки:

   (a+c)(b+d) = ab + ad + bc + cd

2. Теперь заметим, что площадь четырёхугольника можно разделить на два треугольника. Площадь каждого треугольника равна половине произведения длин его сторон на синус угла между этими сторонами. Давайте рассмотрим первый треугольник с сторонами a и b. Его площадь равна:

   S₁ = (1/2) * a * b

3. Теперь рассмотрим второй треугольник с сторонами c и d. Его площадь равна:

   S₂ = (1/2) * c * d

4. Сумма площадей этих двух треугольников равна площади четырёхугольника:

   S = S₁ + S₂ = (1/2) * a * b + (1/2) * c * d

5. Теперь мы видим, что площадь четырёхугольника S равна сумме двух членов, ab/2 и cd/2.

6. Обратите внимание, что ab/2 и cd/2 - это половины выражения (a+c)(b+d), которое мы рассматривали в начале.

   (a+c)(b+d) = ab + ad + bc + cd

   (a+c)(b+d)/2 = (ab + ad + bc + cd)/2

7. Теперь мы видим, что (a+c)(b+d)/2 - это среднее арифметическое из ab/2 и cd/2:

   (a+c)(b+d)/2 = (ab/2 + ad/2 + bc/2 + cd/2)/2

8. Среднее арифметическое всегда меньше или равно среднего геометрического. Таким образом, (a+c)(b+d)/2 ≤ √(ab/2 * ad/2 * bc/2 * cd/2).

9. Также мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для четырех чисел:

   √(ab/2 * ad/2 * bc/2 * cd/2) ≤ (ab/2 + ad/2 + bc/2 + cd/2)/4

10. Теперь мы получили неравенство:

(a+c)(b+d)/2 ≤ (ab/2 + ad/2 + bc/2 + cd/2)/4

11. Подставим в это неравенство значение ab/2 + ad/2 + bc/2 + cd/2, которое мы рассчитали ранее:

(a+c)(b+d)/2 ≤ (ab/2 + ad/2 + bc/2 + cd/2)/4 = S/4

12. Таким образом, мы доказали, что:

(a+c)(b+d)/2 ≤ S/4

13. Умножим обе стороны неравенства на 2:

(a+c)(b+d) ≤ S/2

14. И, наконец, умножим обе стороны на 2:

2 * (a+c)(b+d) ≤ S

Итак, мы доказали, что (a+c)(b+d) ≤ S/2 и 2 * (a+c)(b+d) ≤ S, что означает, что S ≤ 1/4 * (a+c)(b+d).