Question

Тема: угол между прямой и плоскостью. В прямоугольном параллелепипеде A…D1 найдите углы между BD1 и плоскостями граней: а) ABCD; б) AA1 B1 B, если AB = a, BC = b, BB1 = с

Answer 1

В прямоугольном параллелепипеде A…D1 найдите углы между BD1 и плоскостями граней: а) ABCD; б) AA1 B1 B, если AB = a, BC = b, BB1 = с

Объяснение:

1) Углом между прямой BD₁ и плоскостью ( ABC)  ,будет  угол между этой прямой и её проекцией BD ( т.к. DD₁⊥ основанию , по определению прямоугольного параллелепипеда) на эту плоскость.

ΔАВD-прямоугольный , по т. Пифагора BD=√(a²+b²).

ΔDВD₁-прямоугольный  tg∠DBD₁= $\frac{c}{\sqrt{(a^{2}+b^{2} }) }$  , ∠DBD₁=arctg $\frac{c}{\sqrt{(a^{2}+b^{2} }) }$.

2)  Углом между прямой BD₁ и плоскостью ( ABВ₁)  ,будет  угол между этой прямой и её проекцией BА₁ на эту плоскость ( т.к. D₁А₁⊥ грани АВВ₁А₁ , по определению прямоугольного параллелепипеда) .

ΔАВА₁ -прямоугольный , по т. Пифагора ВА₁ =√(a²+с²).

ΔА₁ВD₁-прямоугольный  tg∠А₁ВD₁= $\frac{b}{\sqrt{(a^{2}+c^{2} }) }$  , ∠А₁ВD₁=arctg $\frac{b}{\sqrt{(a^{2}+c^{2} }) }$.

==========================================

Все грани в прямоугольном параллелепипеде-прямоугольники.

Answer 2

Для нахождения угла между прямой BD1 и плоскостью ABCD в параллелепипеде, вы можете использовать следующую формулу:

Угол между прямой и плоскостью = арккосинус((|нормаль к плоскости| * |вектор прямой|) / (|нормаль к плоскости| * |вектор прямой|))

где нормаль к плоскости - это вектор, перпендикулярный плоскости, а вектор прямой - вектор, представляющий прямую.

Для случая а) у вас есть плоскость ABCD с нормалью, направленной внутрь параллелепипеда. Вектор прямой BD1 - это вектор, направленный от точки B к точке D1. Давайте найдем нормаль к плоскости ABCD и вектор BD1:

Нормаль к плоскости ABCD:

• Вектор AB = a * i,
• Вектор BC = b * j,
• Нормаль к плоскости ABCD - это векторное произведение AB и BC: N_ABCD = AB x BC = (a * i) x (b * j) = ab * k.

Теперь вектор BD1:

• Вектор BD1 = (D1 - B) = (0 - a) * i + (0 - 0) * j + (0 - 0) * k = -a * i.

Теперь, используя формулу, найдем угол между BD1 и плоскостью ABCD: Угол_аб = арккосинус((|N_ABCD| * |BD1|) / (|N_ABCD| * |BD1|)) = арккосинус((ab * |-a|) / (ab * |a|)) = арккосинус((ab * a) / (ab * a)) = арккосинус(1) = 0 градусов.

Таким образом, угол между BD1 и плоскостью ABCD равен 0 градусов.

Теперь перейдем к случаю б), где у вас есть плоскость AA1B1B с нормалью, направленной внутрь параллелепипеда, и вектор прямой BD1. Вы можете использовать тот же метод, чтобы найти угол между BD1 и этой плоскостью. Нормаль к плоскости AA1B1B и вектор BD1 такие же, как и ранее. Так что угол между BD1 и плоскостью AA1B1B также будет равен 0 градусов.