Question

Найдите все значения параметра а при каждом из которых система уравнений 2х^2+2у^2=4а4ху=4а-2имеет всего два решения

Answer 1

Ответ: 0.25

Объяснение:

Разделим оба уравнения на 2:

x^2+y^2 = 2a

2xy =2a-1

вычтем уравнения:

x^2-2xy+y^2 = 1

(x-y)^2 = 1

x-y=+-1

1) y=x+1

2) y=x-1

1) ; 2) - две параллельные прямые, которые образуют с началом координат угол 45° , расстояние от начала координат до данных прямых равно √2/2 (по теореме Пифагора)

x^2+y^2 = 2a - окружность с радиусом R=√(2a)  (a>=0)

Если R> √2/2 , то окружность пересекает прямые в 4 точках ( 4 решения).

Если R<√2/2, окружность не пересекает прямые (решений нет)

Наконец, если R=√2/2, то окружность касается каждой прямой в одной точке, то есть 2 решения.

√2/2 = √(2a)

a=1/4 = 0.25

Answer 2

Для того чтобы система уравнений имела всего два решения, это означает, что графикы уравнений 2x^2 + 2y^2 = 4a и 4xy = 4a - 2 должны пересекаться в точках (x, y) только два раза. Это может произойти, если графики этих уравнений касаются друг друга в этих точках.

Давайте сначала рассмотрим уравнение 2x^2 + 2y^2 = 4a:

Разделим оба выражения на 2:

x^2 + y^2 = 2a

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с радиусом sqrt(2a).

Теперь рассмотрим уравнение 4xy = 4a - 2:

Разделим оба выражения на 4:

xy = a - 0.5

Это уравнение представляет собой гиперболу, и его график будет выглядеть как две ветви, исходящие из начала координат и симметричные относительно осей x и y.

Теперь давайте найдем значения параметра a, при которых графики окружности и гиперболы пересекаются ровно два раза.

Для этого нужно, чтобы окружность и гипербола касались друг друга. Это происходит, когда радиус окружности равен расстоянию от начала координат до гиперболы. Расстояние от начала координат до гиперболы xy = a - 0.5 можно найти следующим образом:

Для точек (x, y) на гиперболе xy = a - 0.5, расстояние до начала координат равно sqrt(x^2 + y^2).

Таким образом, условие для нахождения значений параметра a будет:

sqrt(2a) = sqrt(a^2 - 0.5)

Возводим обе стороны в квадрат:

2a = a^2 - 0.5

a^2 - 2a - 0.5 = 0

Применяем квадратное уравнение:

a = (2 ± sqrt(2^2 - 4*(-0.5))) / 2

a = (2 ± sqrt(4 + 2)) / 2

a = (2 ± sqrt(6)) / 2

a = 1 ± sqrt(6)/2

Итак, значения параметра a, при которых система имеет всего два решения, равны:

a = 1 + sqrt(6)/2 a = 1 - sqrt(6)/2