Question

Ребра правильного тетраэдра равны 1 точка K середина ребра AB. Найдите расстояния от точки K до плоскости ADC;

Answer 1

Так как точка K - середина ребра AB, то её расстояния до плоскости ADC в 2 раза меньше, чем точки В.

Проведём секущую плоскость через точку В перпендикулярно плоскости ADC.

В сечении будет равнобедренный треугольник ВDE, ВЕ = DE = √3/2 (как медианы равносторонних треугольников).

Высота H из точки В равна высоте правильного тетраэдра, это √(2/3).

Площадь ADE = (1/2)HBE = (1/2)*√(2/3)*(√3/2) = √2/4.

Высота из  точки В: h(B) = 2S/DE = (2*(√2/4))/(√3/2) = √(2/3) = √6/3.

Ответ: h = (1/2)h(B) = √6/6.

Answer 2

Для нахождения расстояния от точки K до плоскости ADC, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости. Формула выглядит следующим образом:

$d = \frac{|Ax + By + Cz + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, (x, y, z) - координаты точки K, а D - коэффициент сдвига плоскости.

Для начала определим уравнение плоскости ADC. Так как ABCD - правильный тетраэдр, то его грани ADC, BDC, ABC - равносторонние треугольники. Поэтому нормаль к плоскости ADC можно найти, найдя векторное произведение векторов AD и AC.

Вектор AD (от точки A до точки D) можно найти, вычитая координаты D из координат A:

AD = D - A = (0, 0, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 0)

Вектор AC (от точки A до точки C) также можно найти, вычитая координаты C из координат A:

AC = C - A = (0, 1, 0) - (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)

Теперь мы можем найти нормальный вектор к плоскости ADC, взяв векторное произведение AD и AC:

N = AD × AC = (-1, 0, 0) × (-1, 1, 0)

Для нахождения векторного произведения мы можем использовать правило определения вектора векторного произведения:

N = ((0 * 0 - 0 * 1), (0 * (-1) - (-1) * 0), (-1 * 1 - (-1) * 0))

N = (0, 0, -1)

Теперь у нас есть нормальный вектор к плоскости ADC, который равен (0, 0, -1).

Следующим шагом мы должны найти коэффициент сдвига D. Мы можем использовать одну из точек на плоскости ADC, например, точку A. С помощью уравнения плоскости, которое имеет вид:

Ax + By + Cz + D = 0

и подставив координаты точки A (1, 0, 0), мы можем решить для D:

(0 * 1) + (0 * 0) + (-1 * 0) + D = 0

D = 0

Теперь, когда у нас есть нормальный вектор (A, B, C) = (0, 0, -1) и коэффициент сдвига D = 0 для плоскости ADC, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния от точки K (x, y, z) до этой плоскости:

$d = \frac{|0x + 0y + (-1)z + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|-z|}{\sqrt{1}}$

Теперь мы можем найти расстояние d от точки K до плоскости ADC:

$d = |z|$

Заметьте, что координата z точки K равна середине ребра AB, а ребро AB равно 1. Поэтому z = 0.5. Таким образом, расстояние от точки K до плоскости ADC равно:

$d = |0.5| = 0.5$

Итак, расстояние от точки K до плоскости ADC равно 0.5.