Question

Доказать теорему о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника​

Answer 1

Ответ:

Теорема о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

В пункте 46 мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Оказывается, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке.

Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Обозначим буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC треугольника ABC (рис. 33). Докажем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AC.

По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку OA = OB и OB = OC, поэтому OA = OC. Таким образом, точка O равноудалена от концов отрезка AC и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре b к этому отрезку. Итак, все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника ABC пересекаются в точке O, и эта точка равноудалена от вершин A, B и C. Теорема доказана.

Замечание. Мы начали доказательство теоремы с того, что обозначили буквой O точку пересечения серединных перпендикуляров c и a к сторонам AB и BC. А верно ли, что прямые a и c пересекаются? Докажем, что это верно.

Проведем через точку B прямые p и q, что p ⊥ AB и q ⊥ BC (рис. 34). Поскольку прямые p и c перпендикулярны к прямой AB, то p || c.

Аналогично доказывается, что q || a. Прямая p пересекает прямую q (в точке B), поэтому она пересекает и параллельную ей прямую a (см. рис. 34); прямая a пересекает прямую p, поэтому она пересекает и параллельную ей прямую c. Итак, прямая a пересекает прямую c, что и требовалось доказать.

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства теоремы о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, давайте рассмотрим треугольник ABC и его серединные перпендикуляры к его сторонам.

Пусть M, N и P - середины сторон AB, BC и CA соответственно, а AM, BN и CP - соответствующие им серединные перпендикуляры.

Теперь давайте докажем, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

1. Рассмотрим два из этих перпендикуляров, скажем, AM и BN. Они пересекаются в точке O, так как пересечение двух перпендикуляров образует прямой угол, и AM и BN - это серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC соответственно.

2. Теперь рассмотрим третий перпендикуляр, CP. Мы знаем, что CP также проходит через середину стороны CA.

3. Так как точка O лежит на пересечении AM и BN, она также лежит на CP, так как это общая точка.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляры AM, BN и CP пересекаются в одной точке, которая называется центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Эта теорема называется теоремой о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.