Question

30 БАЛЛОВ,СРОЧНО ABCDA1B1C1D1 — куб. Докажите, что прямая АС перпендикулярна к плоскости, которая проходит через точки B,B1,D1​

Answer 1

Объяснение:

1) Все грани куба являются квадратами.

По свойствам квадрата диагонали взаимно перпендикулярны. В нашем случае АС  ⟂ BD.

2) DD1 ⟂ DC по условию и DD1 ⟂ DA, DC ⋂ DA = D, тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости DD1 ⟂ (ABC).

3) Так как DD1 ⟂ (ABC) , то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе DD1 ⟂ AC.

4) Получили, что

АС  ⟂ BD, AC ⟂ DD1, BD ⋂ DD1 = D, тогда по признаку  перпендикулярности прямой и плоскости АС ⟂ (ВВ1D1), что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая AC перпендикулярна к плоскости, проходящей через точки B, B1 и D1, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем вектора, задающие прямую AC и плоскость, а затем проверим их ортогональность.

2. Найдем вектор, направленный от точки A к точке C. Для этого вычислим разницу координат между этими точками:

   Вектор AC = C - A

3. Теперь найдем нормальный вектор плоскости, проходящей через точки B, B1 и D1. Нормальный вектор плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Например, мы можем взять векторы BB1 и BD1:

   Вектор BB1 = B1 - B Вектор BD1 = D1 - B

   Теперь найдем нормальный вектор плоскости:

   Нормальный вектор плоскости = BB1 × BD1 (векторное произведение)

4. Теперь проверим, являются ли вектор AC и нормальный вектор плоскости ортогональными (скалярное произведение равно нулю):

   AC · Нормальный вектор плоскости = 0

Если скалярное произведение равно нулю, то это означает, что вектор AC и нормальный вектор плоскости ортогональны, что в свою очередь означает, что прямая AC перпендикулярна к плоскости, проходящей через точки B, B1 и D1.

Таким образом, если скалярное произведение AC и нормального вектора плоскости равно нулю, то доказательство завершено, и прямая AC действительно перпендикулярна к указанной плоскости.