Question

Доведіть що коли х >0 і у >0, то (1+х/у)(1+у/3)(1+3/х)>= 8 ​

Answer 1

Ответ:

...............................................

Объяснение:

Answer 2

Давайте розглянемо вираз (1 + x/y)(1 + y/3)(1 + 3/x) і спростимо його:

(1 + x/y)(1 + y/3)(1 + 3/x) = (1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + y/3)

Тепер ми можемо використовувати нерівність між арифметичним і геометричним середніми для додатних чисел. Нерівність виглядає так:

Для додатних чисел a і b: √(ab) ≤ (a + b) / 2

Застосуємо цю нерівність двічі:

Перше застосування: (1 + x/y)(1 + 3/x) ≥ √((1 + x/y)(1 + 3/x)) = √((1 + x/y)(1 + 3/x))

Друге застосування: (√((1 + x/y)(1 + 3/x)))(1 + y/3) ≥ √((√((1 + x/y)(1 + 3/x)))(1 + y/3))

Тепер ми маємо:

(1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + y/3) ≥ √((1 + x/y)(1 + 3/x)) * √((√((1 + x/y)(1 + 3/x)))(1 + y/3))

Давайте розглянемо праву сторону нерівності окремо:

√((1 + x/y)(1 + 3/x)) * √((√((1 + x/y)(1 + 3/x)))(1 + y/3))

Тепер давайте спростимо це далі:

√((1 + x/y)(1 + 3/x)) * √((√((1 + x/y)(1 + 3/x)))(1 + y/3)) = √((1 + x/y)(1 + 3/x) * (√((1 + x/y)(1 + 3/x))(1 + y/3)))

= √((1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + y/3))

= √((1 + x/y)^2(1 + 3/x)^2(1 + y/3))

= (1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + y/3)

Таким чином, ми показали, що (1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + y/3) ≥ √((1 + x/y)(1 + 3/x))(√((√((1 + x/y)(1 + 3/x)))(1 + y/3))) = (1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + y/3).

Отже, ми показали, що (1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + y/3) ≥ (1 + x/y)(1 + 3/x)(1 + y/3), що очевидно правильно.