Question

В кубе ABCDA1B1C1D1 рёбра равны 1. На продолжении отрезка A1C1 за точку C1 отмечена точка M так, что A1C1 = C1M, а на продолжении отрезка B1C за точку C отмечена точка N так, что B1C = CN. Найдите расстояние между прямыми B1C1 и MN.

Answer 1

Пусть А - начало координат

Ось X - АВ

Ось Y - АD

Ось Z - AA1

координаты точек

B1 (1;0;1)

C1(1;1;1)

M(2;2;1)

N(1;2;-1)

Вектора

С1M(1;1;0)

B1C1(0;1;0)

NM(1;0;2)

Искомое расстояние

| B1C1 ; MN | = | C1M * B1C1xMN | / | B1C1xMN | =

2 / √(2^2+1^2) = 2 / √5

Answer 2

Давайте рассмотрим сначала положение точек в кубе и определим их координаты. Предположим, что центр куба находится в начале координат O(0, 0, 0), и его рёбра параллельны осям координат.

Точки A и A1 находятся на вершинах куба и имеют следующие координаты: A(0, 0, 0) и A1(1, 1, 1).

Точки B и B1 находятся на противоположных вершинах куба и имеют координаты: B(1, 1, 0) и B1(0, 0, 1).

Точки C и C1 находятся на вершинах, соединяющих A и B (и A1 и B1) и имеют координаты: C(1, 0, 0) и C1(0, 1, 1).

Теперь рассмотрим точки M и N, которые находятся на продолжении отрезков A1C1 и B1C. С учетом условий задачи, мы знаем, что A1C1 = C1M и B1C = CN. Таким образом, координаты точек M и N могут быть вычислены следующим образом:

M = C1 + (C1 - A1) = (0, 1, 1) + ((0, 1, 1) - (1, 1, 1)) = (0, 1, 1) + (-1, 0, 0) = (-1, 1, 1).

N = C + (C - B1) = (1, 0, 0) + ((1, 0, 0) - (0, 0, 1)) = (1, 0, 0) + (1, 0, -1) = (2, 0, -1).

Теперь у нас есть координаты точек M(-1, 1, 1) и N(2, 0, -1).

Чтобы найти расстояние между прямыми B1C1 и MN, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между двумя параллельными прямыми в трехмерном пространстве. Это расстояние равно модулю векторного произведения направляющих векторов этих прямых, деленному на модуль направляющего вектора прямой.

Направляющий вектор прямой B1C1 это вектор C1B1 = (0, 0, 1) - (1, 1, 1) = (-1, -1, 0).

Направляющий вектор прямой MN это вектор NM = (-1, 1, 1) - (2, 0, -1) = (-3, 1, 2).

Теперь вычислим векторное произведение направляющих векторов:

(C1B1) × (NM) = (-1, -1, 0) × (-3, 1, 2).

Для вычисления векторного произведения можно воспользоваться правилом сарка, которое гласит, что компоненты векторного произведения равны:

• X: (-1) × 2 - (-1) × 1 = -2 + 1 = -1.
• Y: 0 - (-3) × 2 = 0 + 6 = 6.
• Z: (-1) × 1 - (-1) × (-3) = -1 - 3 = -4.

Теперь найдем модуль вектора (C1B1) × (NM):

|(-1, 6, -4)| = √((-1)² + 6² + (-4)²) = √(1 + 36 + 16) = √53.

Итак, расстояние между прямыми B1C1 и MN равно √53.