Question

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB =4√2 , AA1 = 4.Точка M — середина ребра BC. а) Докажите, что прямые B1C и C1M перпендикулярны. б) Найдите угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1.

Answer 1

Пусть В - начало координат .

Ось X - BA

Ось Y - перпендикулярно Х в сторону С

Ось Z - BB1

Координаты точек

M(√2;√6;0)

B1(0;0;4)

C1(2√2;2√6;4)

C(2√2;2√6;0)

Вектора

B1C ( 2√2;2√6;-4)

C1M ( -√2;-√6;-4)

Уравнение плоскости ABB1A1

y=0

B1C * C1M =  2√2* (-√2) + 2√6*(-√6) + (-4)*(-4) = 0 - перпендикулярны

Синус искомого угла равен

√6 / √ ( 2+6 +16) = 1/2  

угол 30 градусов .

Answer 2

Чтобы решить это задание, давайте разберемся с каждой частью по отдельности.

а) Докажем, что прямые B1C и C1M перпендикулярны.

Построим вершину треугольной призмы ABCA1B1C1 и отметим точку M, которая является серединой ребра BC.

Так как призма правильная, то грани AB1C и A1B1C1 параллельны и равнобедренны. Значит, AB1 = AC = 4√2, а также A1C1 = A1B1 = AA1 = 4.

Теперь заметим, что треугольник B1C1M также является равнобедренным, так как B1C1 || BC и M — середина ребра BC. А значит, B1M = C1M.

Итак, у нас есть:

B1C1 || BC, B1C1 = BC, B1M = C1M.

Теперь докажем, что B1C1M — прямоугольный треугольник. Для этого рассмотрим треугольник ABC:

AB = 4√2, AC = 4√2, BC = 4√2.

Треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник, и так как точка M — середина гипотенузы BC, то AM = MC. Но также AM = A1M и MC = MС1, так как A1M и MC1 — медианы треугольника ABCA1B1C1, проходящие через середину гипотенузы BC.

Из равенства сторон AM = MC, AM = A1M и MC = MC1 следует, что A1M = MC1, а значит, треугольник A1MC1 также равнобедренный.

Таким образом, у нас есть:

B1M = C1M, A1M = MC1.

Из этих равенств следует, что треугольник B1C1M прямоугольный, так как он имеет два равных угла, а значит, прямой угол находится между B1C1 и B1M.

Таким образом, прямые B1C и C1M перпендикулярны.

б) Теперь найдем угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1.

Угол между прямой и плоскостью можно найти, используя нормаль к плоскости и направляющий вектор прямой.

Нормаль к плоскости ABB1A1 можно найти, используя векторное произведение векторов AB и AB1:

n = AB x AB1.

где x обозначает векторное произведение, а n — нормаль к плоскости.

AB = B - A = (4√2 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (4√2, 0, 0),

AB1 = B1 - A = (4√2 - 0, 4 - 0, 0 - 0) = (4√2, 4, 0).

Теперь найдем векторное произведение:

n = AB x AB1 = (0, 0, (4√2) * 4) = (0, 0, 16√2).

Теперь найдем направляющий вектор прямой CM. Так как M — середина ребра BC, то вектор CM равен половине вектора BC:

BC = C - B = (0 - 4√2, 4 - 0, 0 - 0) = (-4√2, 4, 0),

CM = BC / 2 = (-4√2 / 2, 4 / 2, 0 / 2) = (-2√2, 2, 0).

Теперь найдем косинус угла между векторами n и CM:

cosθ = (n · CM) / (|n| * |CM|).

где · обозначает скалярное произведение, а | | обозначает длину вектора.

Сначала найдем длины векторов:

|n| = √(0^2 + 0^2 + (16√2)^2) = √(0 + 0 + 512) = √512 = 16√2,

|CM| = √((-2√2)^2 + 2^2 + 0^2) = √(8 + 4 + 0) = √12 = 2√3.

Теперь найдем скалярное произведение:

n · CM = 0 * (-2√2) + 0 * 2 + 16√2 * 0 = 0.

Таким образом, cosθ = 0 / (16√2 * 2√3) = 0.

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(0) = 90°.

Итак, угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1 равен 90 градусов.