Question

1) На стороне AB и АС прямоугольного треугольника АВС (<С = 90⁰) взято точки D и E соответственно. Найдите длину отрезка DE, если АС = 4 см, ВС = 2√5 см, СЕ = 1 см, ВD = 2 см. 2) Основание равнобедренного треугольника равна а, а угол при основании - α. Найдите медиану треугольника, проведенной к его боковой стороны.

Answer 1

1) По т. Пифагора находим АВ:

АВ² = 4² + (2√5)² = 16 + 20 = 36

АВ = 6

cos A = AC/AB = 4/6 = 2/3

AD = AB - BD = 6 - 2 = 4

AE = AC - EC = 4 - 1 = 3

В треугольнике ADE находим DE по теореме косинусов:

DE² = AD² + AE² - 2AD*AE*cos A = 16 + 9 - 2*4*3*2/3 = 9; DE = 3

2) Пусть в треугольнике АВС:

ВС = а, тогда АВ = АС = а / (2cos α), а значит ВМ = а / (4cos α)

Пусть СМ - медиана, тогда найдем её по теореме косинусов из треугольника ВСМ:

СМ² = МВ² + ВС² - 2МВ*ВС*cos α

CM² = а² / (16соs²α) + a² - a²

CM = a / (4cos)

Answer 2

2)

t =a/4 *tgф

т. Пифагора

m^2 =(3a/4)^2 +t^2 = (a/4)^2 (9 +tgф^2)

m =a/4 *√(9 +tgф^2)

Или

b =a/2cosф => b/2 =a/4cosф

т. косинусов

m^2 =a^2 +(b/2)^2 -2a *b/2 *cosф =

= a^2 +a^2/16cosф^2 -a^2/2 =

= a^2/2 *(1 +1/8cosф^2)

m =a/2 *√(2 +1/4cosф^2)

1)

AB =√(16+20) =6 (т Пифагора)

AD =6-2 =4

AC=AD, △DAC - равнобедренный

Пусть DF=CE=1, тогда DE=CF

BF=2+1=3, CF - медиана из прямого угла, равна половине гипотенузы

DE=CF =AB/2 =3 (см)

Answer 3

1. Для нахождения длины отрезка DE мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник ABC.

Известно: AC = 4 см (гипотенуза) BC = 2√5 см (катет) CE = 1 см BD = 2 см

Мы хотим найти DE.

Сначала найдем длину AE, используя теорему Пифагора в треугольнике ACE: AE² = AC² - CE² AE² = (4 см)² - (1 см)² AE² = 16 см² - 1 см² AE² = 15 см² AE = √15 см

Теперь найдем длину CD, используя теорему Пифагора в треугольнике BCD: CD² = BC² - BD² CD² = (2√5 см)² - (2 см)² CD² = 20 см² - 4 см² CD² = 16 см² CD = 4 см

Теперь у нас есть длины AE и CD. Чтобы найти DE, мы можем сложить эти длины:

DE = AE + CD DE = √15 см + 4 см DE ≈ √15 см + 4 см ≈ 7.87 см (округляем до двух десятичных знаков)

Ответ: Длина отрезка DE составляет примерно 7.87 см.

2. Для нахождения медианы, проведенной к боковой стороне равнобедренного треугольника, мы можем использовать следующую формулу:

Медиана (m) = (1/2) * √(2a² - b²),

где a - длина основания треугольника, b - угол при основании (α).

Так как у нас равнобедренный треугольник, то основание равно b и угол при основании равен α.

Таким образом, медиана равна:

m = (1/2) * √(2a² - a²) m = (1/2) * √(a²) m = (1/2) * a m = a/2

Ответ: Медиана, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, равна a/2.