Question

Приведите теорему косинусов и докажите ее.​

Answer 1

Поиск...

Избавься от ограничений

ПОПРОБУЙ ЗНАНИЯ ПЛЮС СЕГОДНЯ

айна2001

айна2001

21.12.2015

Геометрия

5 - 9 классы

ответ дан

Докажите теорему косинусов

2

ПОСМОТРЕТЬ ОТВЕТЫ

Войди чтобы добавить комментарий

Ответ

5,0/5

5

bobozm

середнячок

7 ответов

1.7 тыс. пользователей, получивших помощь

Доказательство в документе

Загрузить docx

hendikeps2 и 7 других пользователей посчитали ответ полезным!

СПАСИБО

5

5,0

(2 оценки)

1

айна2001 avatar

и это всё писать?

Войди чтобы добавить комментарий

Ответ

4,0/5

7

BlueSky10

умный

33 ответов

8.2 тыс. пользователей, получивших помощь

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема Пифагора это частный случай теоремы косинусов.

Теорема косинусов имеет вид:a2 = b2 + c2 - 2bc*Cos(A)Cos(A) это угол лежащий напротив стороны a (обычное обозначение сторон и углов: напротив стороны "а" лежит угол A, "b" лежит угол B, "c" лежит угол C).

Далее: Введем систему координат с началом в точке А .

Тогда точка В имеет координаты (с;0), а точка С - (b cos A; b sin A). По формуле расстояния между двумя точками получаем ВС.

2 = а2 = (b cos(A) - c)2 + b2Sin2(A) == b2Cos2(A) + b2Sin2(A) - 2*bcCos(A) + c2 == b2 + c2 - 2*bcCos(A)

Answer 2

Теорема косинусов - это фундаментальная теорема в геометрии, которая связывает длины сторон треугольника и косинусы его углов. Формулировка теоремы косинусов звучит следующим образом:

В любом треугольнике ABC с сторонами a, b и c и углами α, β и γ, соответственно, косинус угла γ можно выразить с помощью длин сторон a, b и c следующим образом:

$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Теперь докажем теорему косинусов. Для доказательства используем закон косинусов, который утверждает, что:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$

где c - длина стороны противолежащей углу γ.

Теперь давайте умножим обе стороны этого уравнения на $\frac{1}{ab}$:

$\frac{c^2}{ab} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} - 2\cos(\gamma)$

$\frac{c^2}{ab} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2\cos(\gamma)$

Теперь выразим $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ в виде $\sin$ и $\cos$ угла γ:

$\frac{a}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{\sin(\beta)}$

$\frac{b}{a} = \frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}$

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

$\frac{c^2}{ab} = \frac{\sin(\gamma)}{\sin(\beta)} + \frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)} - 2\cos(\gamma)$

Умножим обе стороны на $\sin(\alpha)\sin(\beta)$:

$c^2\sin(\alpha)\sin(\beta) = \sin(\gamma)\sin(\beta) + \sin(\gamma)\sin(\alpha) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma)$

Теперь используем тождество синусов для суммы углов:

$c^2\sin(\alpha)\sin(\beta) = \sin(\gamma)\sin(\alpha + \beta) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma)$

Используя то, что $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, мы можем записать $\alpha + \beta$ как $180^\circ - \gamma$:

$c^2\sin(\alpha)\sin(\beta) = \sin(\gamma)\sin(180^\circ - \gamma) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma)$

Так как $\sin(180^\circ - \gamma) = \sin(\gamma)$, получаем:

$c^2\sin(\alpha)\sin(\beta) = \sin^2(\gamma) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma)$

Теперь выразим $\sin^2(\gamma)$ как $1 - \cos^2(\gamma)$:

$c^2\sin(\alpha)\sin(\beta) = 1 - \cos^2(\gamma) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\gamma)$