Question

В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны , угол В равен 100° , AD - биссектриса угла А , АС - BD = 3 . Найдите длину AD

Answer 1

Я прошу прощения за рисунок - там много лишнего, но можно разглядеть △ABC ∠AВC = 100°; у меня была очередная "сумасшедшая идея" :).

На самом деле порядок решения такой - берется ∠HAC = 20° и в него встраивается ломанная из звеньев одинаковой длины (пока не важно, какой). Это построение хорошо известно. Я его повторю только для тех, кто не в курсе (автор задачи, я уверен, прекрасно знает, я прошу прощения).

Первая точка V на AC, вторая U на AH. △AUV равнобедренный => ∠UVC = 40°; следующая вершина ломаной точка F на AC, △FUV равнобедренный => ∠UFV = ∠UVC = 40° => ∠HUF = 60°; следующее звено FD, и легко увидеть, что △DUF оказался равносторонним. Еще одно звено DO, и точно также находится ∠DFO = ∠DOF = 80°; ∠FDO = 20°;

Так как ∠DAO = 20°, то ∠ADO = 80°; => △ADO равнобедренный, AD = AO;

Кроме того △ADO ∼ △FDO;

Больше нельзя добавить звеньев по прежней схеме, но можно добавить еще одно звено вдоль AC (сама точка C на русунке). Пусть CD продлено за D до точки B так, что AB = BC. Так как ∠DOС = 100°, ∠AСD = 40°; ∠ABС = 100°; AD - биссектриса ∠BAС.

То есть получился треугольник из условия задачи.

А вот теперь, собственно, решение задачи.

Так как ∠DFA = ∠DBA = 100°, точки F и B симметричны относительно биссектрисы AD, => DF = BD; => CO = BD; а так как AO = AD, то AD = AC - BD = 3; это все.

То, что звенья ломаной брались произвольной (одинаковой, но произвольной) длины, ничего не меняет - можно было сразу взять их длиной 3, например.

Answer 2

Добавлю "дурацкое алгебраическое" решение.

Пусть боковая сторона треугольника AB=BC=c, тогда AC =2c cos 40° (для упрощения писанины обозначение градуса буду опускать),

$AD=\frac{2 AB\cdot AC\cdot \cos\frac{40}{2}}{AB+AC}=c\frac{4\cos 40\cdot \cos 20}{1+2\cos 40}.$

При этом $BD=\frac{BC\cdot AB}{AB+AC}=\frac{c}{1+2\cos 40};\ AC-DD=2c\cos 40-\frac{c}{1+2\cos 40}=3\Rightarrow$

$c=\frac{3(1+2\cos 40)}{2\cos40 +4\cos^2 40-1};$

$AD=\frac{12\cos 40\cdot \cos 20}{2\cos 40+4\cos^240-1}=\frac{6(\cos 60+\cos 20)}{2\cos 40+2(1+\cos 80)-1}=\frac{3(1+2\cos 20)}{2(\cos 40+\cos 80)+1}=$

$=\frac{3(1+2\cos 20)}{4\cos 60\cdot \cos 20+1}=3.$  

Мы воспользовались известными (как мне кажется) в школе формулами для длины биссектрисы через прилежащие стороны и угол, а также для длины отрезка стороны, на которую опущена биссектриса.

Возможно, приведет к успеху и другой путь - в этой задаче возникают углы в 60 (угол ADB) и 120 (соответственно угол ADC) градусов, поэтому можно написать хорошие тождества, скрепляющие элементы чертежа. При этом полезно провести биссектрису DF=BD угла ADC и достроить до ромба. Правда, с первого захода довести до ответе этот путь не удалось.  

Answer 3

Для решения задачи нам потребуется применить теорему синусов в треугольнике ABC.

Обозначим длину стороны AB (и BC) как "a". Так как стороны AB и BC равны, то $AB = BC = a$.

Известно, что угол B равен 100°. Теперь можем найти угол C, так как сумма углов в треугольнике равна 180°:

$$\angle C = 180° - \angle B = 180° - 100° = 80°.$$

Теперь применим теорему синусов для треугольника ABC:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin 80°}.$$

Так как AD является биссектрисой угла A, то отношение сторон AC и BC равно отношению сторон AD и BD:

$$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD}.$$

Имеем $AC/BC = 1$ (так как AB = BC = a), поэтому:

$$\frac{AD}{BD} = 1 \implies AD = BD.$$

Также из условия известно, что $BD = 3$, следовательно, $AD = BD = 3$.

Теперь можем использовать теорему синусов для нахождения длины AD:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{AD}{\sin B} \implies \sin A = \frac{AD \cdot \sin B}{a}.$$

Так как $\sin B = \sin 100°$, подставим значения:

$$\sin A = \frac{3 \cdot \sin 100°}{a}.$$

Теперь нам нужно найти угол A. Используем тот факт, что сумма углов треугольника равна 180°:

$$\angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 100° - 80° = 0°.$$

Это невозможно, так как угол A не может быть нулевым. Следовательно, задача имеет нетривиальное решение только при условии, что она некорректно сформулирована или что-то было неверно понято.