Question

Срочно ПЖПЖПЖ.Признаки равенства треугольников, определение медианы, биссектрисы и высоты.

Answer 1

Ответ:

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых AC = A1C1, AB = A1B1, ∠A = ∠A1.

Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними

Докажите, что △ABC = △A1B1C1.

Доказательство:

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

B1C1 = BC, следовательно, △ABC совмещается с △A1B1C, значит, △ABC = △A1B1C1.

Теорема доказана.

Важно!

Первый признак используют при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.

Познавайте математику вместе с нашими лучшими преподавателями на занятиях по математике для учеников с 1 до 11 класса!

Учеба без слез

Бесплатный курс писем от психолога Екатерины Мурашовой

Почта

Читать →

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых:

AC = A1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1.

Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам

Докажите, что △ABC = △A1B1C1.

Доказательство:

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Если АВ совмещается с А1В1, ВС совмещается с В1С1, то △ABC совмещается с △A1B1C1, значит, △ABC = △A1B1C1 .

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых:

AC = A1C1,

AB = A1B1,

CB = C1B1.

Равенство треугольников по трем сторонам

Докажите, что △ABC = △A1B1C1.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

AC = A1C1, BC = B1C1, то △A1C1С и △B1C1С — равнобедренные.

∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), значит,

∠A1СB1 = ∠A1C1B1.

AC = A1C1, BC = B1C1.

∠C = ∠C1, тогда △ABC = △A1B1C1 (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.

равный треугольник

Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.

Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.

Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами:

равный треугольник

Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Answer 2

С удовольствием помогу вам с этой информацией.

1. Признаки равенства треугольников:

   • По сторонам: Если в двух треугольниках соответствующие стороны равны, то эти треугольники равны по сторонам (по сторонам-сторонам).
   • По углам: Если в двух треугольниках соответствующие углы равны, то эти треугольники равны по углам (по углам-углам).
   • По стороне и прилежащему к ней углу: Если в двух треугольниках одна сторона и прилежащий к ней угол равны соответственно другой стороне и прилегающему к ней углу, то эти треугольники равны (по стороне и прилежащему к ней углу - сторона-угол-сторона).
   • По двум сторонам и углу между ними: Если в двух треугольниках две стороны и угол между ними в одном треугольнике равны соответственно двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны (по стороне-стороне-уголу).

2. Медиана в треугольнике - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Треугольник имеет три медианы, каждая из которых делит соответствующую сторону пополам. Медианы пересекаются в одной точке, которая называется центром масс треугольника или барицентром.

3. Биссектриса в треугольнике - это отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. Внутренняя биссектриса исходит из вершины треугольника и делит противолежащий угол на два равных угла. Внешняя биссектриса также исходит из вершины, но делит угол на два равных угла с противоположной стороны.

4. Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне перпендикулярно. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром.

Надеюсь, эта информация будет полезной для вас. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или нужна более подробная информация, не стесняйтесь спрашивать.