Question

N8 В трапеции ABCD (AD: || : BC) биссектрисы углов DAB и ABC пересеклись на стороне CD. Найдите AB, если AD = 11, BC — 5. Надо записать Число или дробь

Answer 1

Ответ:

16 ед.

Объяснение:

Дано: ABCD - трапеция;

АВ, ВМ - биссектрисы углов DAB и ABC соответственно.

М∈СD

АD=11; ВС=5

Найти: АВ

Решение:

Так как АВ, ВМ - биссектрисы, то точка М будет являться центром окружности, вписанное в эти углы.

Проведем КР ⊥ АD.

• Если отрезок перпендикулярен одной из параллельных прямых, то он перпендикулярен и к другой прямой.

⇒КР ⊥ ВС.

1. Рассмотрим ΔСКМ и ΔРМD - прямоугольные.

МК=МР=r; ∠СМК=∠РМD - вертикальные.

⇒ ΔСКМ = ΔРМD (по катету и острому углу.

⇒ СМ=МD (как соответственные элементы)

2.  Проведем МО || AD.

СМ=МD (п.1)

• Если отрезок в трапеции проходит через середину одной из его боковых сторон, пересекает вторую боковую сторону и параллелен основанию — этот отрезок можно назвать средней линией этой трапеции.

⇒ МО - средняя линия.

То есть АО=ОВ

• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

МО=(ВС+AD):2=(5+11):2=8

3. Рассмотрим ΔАВМ.

• Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне равна 180°.

⇒∠А+∠В=180°

или

∠3+∠4+∠1+∠2=180°

Так как ∠1=∠2 и ∠3=∠4 (АВ, ВМ - биссектрисы),

то ∠1+∠3=180°:2=90°

⇒ ΔАВМ - прямоугольный.

4. Рассмотрим ΔАВМ - прямоугольный.

АО=ОВ (п.2)

⇒ МО - медиана.

• Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе равна ее половине.

⇒ АВ = 2ОМ=16

Answer 2

Давайте обозначим точку пересечения биссектрис углов DAB и ABC как точку E. Так как AD || BC, то угол DAB и угол ABC смежные вертикальные углы и, следовательно, равны.

Теперь у нас есть два треугольника: треугольник ADE и треугольник BEC. Оба они прямоугольные и имеют общий угол BAE (по построению). Мы также знаем, что угол BAD и угол BAE равны между собой, так как это биссектрисы. Поэтому угол BAE в обоих треугольниках равен.

Мы знаем, что AD = 11 и BC = 5. Теперь мы можем использовать подобие треугольников, так как у них есть равные углы и соответствующие стороны пропорциональны.

(AD / DE) = (AE / BE)

(11 / DE) = (AE / AE + 5)

Теперь, чтобы избавиться от AE в дроби, мы можем представить AE как AE + 5 - 5:

(11 / DE) = ((AE + 5 - 5) / (AE + 5))

Теперь можно видеть, что (AE + 5) в числителе и знаменателе можно сократить:

(11 / DE) = (1 - 5 / (AE + 5))

Теперь мы можем перевернуть дробь и решить уравнение:

(DE / 11) = ((AE + 5) / 5)

DE = 11 * ((AE + 5) / 5)

DE = 11 * (AE / 5 + 1)

DE = (11/5) * AE + 11

Теперь, зная, что угол BAE равен, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ADE:

AE^2 + DE^2 = AD^2

AE^2 + ((11/5) * AE + 11)^2 = 11^2

Теперь мы можем решить это уравнение относительно AE:

AE^2 + (121/25 * AE^2 + 22/5 * AE + 121) = 121

Переносим все члены в одну сторону и объединяем подобные:

AE^2 * (1 + 121/25) + AE * (22/5) + (121 - 121) = 0

AE^2 * (1 + 121/25) + AE * (22/5) = 0

(25/25 + 121/25) * AE^2 + (22/5) * AE = 0

(146/25) * AE^2 + (22/5) * AE = 0

Теперь можно разделить обе стороны на 2/5:

(146/25) * AE^2 + (22/5) * AE = 0

(146/25) * AE^2 + 2 * AE = 0

Теперь можно умножить обе стороны на 25/2, чтобы избавиться от дробей:

146 * AE^2 + 50 * AE = 0

Теперь факторизуем это уравнение:

2 * AE * (73 * AE + 25) = 0

Так как AE не может быть равно нулю (иначе треугольник был бы вырожденным), то у нас остается:

73 * AE + 25 = 0

73 * AE = -25

AE = -25 / 73

Теперь у нас есть значение AE. Чтобы найти AB, мы можем воспользоваться подобием треугольников ADE и ABC:

(AE / AD) = (AB / BC)

(-25 / 73) = (AB / 5)

AB = (5 * -25) / 73

AB = -125 / 73

Ответ: AB = -125/73.