Question

В треугольнике `ABC` медиана `AK` перпендикулярна медиане `BM`. Найдите третью медиану, если `AB=10`.

Answer 1

Ответ: 15 ед. длины.

Объяснение:

__ Назовём третью медиану СЕ. АЕ = ВЕ.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

__Если точка пересечения медиан О, то ЕО - медиана прямоугольного треугольника АОВ (так как по условию ВО и АО перпендикулярны) и равна половине гипотенузы АВ (свойство). ЕО=10:2=5.

__ Тогда СО= 2•5=10, а СЕ= ЕО+СО=5+10=15 (ед. длины).

Answer 2

Для нахождения третьей медианы в треугольнике ABC, давайте сначала определим длину медианы AK.

Медиана AK делит сторону BC пополам и перпендикулярна медиане BM. Поскольку BM - медиана, она также делит сторону AC пополам.

Таким образом, сторона BC делится на две равные части, и AK является высотой треугольника ABC, проходящей через точку B. Также известно, что медиана AK делит медиану BM пополам.

Поскольку медиана BM делит сторону AC пополам, то AM = MC, где M - середина стороны AC.

Теперь у нас есть два равных треугольника: ΔABM и ΔCBM. Они оба прямоугольные, так как медианы перпендикулярны соответствующим сторонам, и они имеют общий катет BM.

Так как AB = 10, то AM = MC = 5 (половина AB).

Из ΔABM мы можем найти длину AK, используя теорему Пифагора:

AK² + BM² = AB² AK² + 5² = 10² AK² + 25 = 100 AK² = 100 - 25 AK² = 75

AK = √75 = 5√3

Теперь у нас есть длина медианы AK, которая равна 5√3.

Третья медиана, которая исходит из вершины C, также делит сторону AB пополам и пересекается с медианой AK в точке O.

Поскольку медиана AK делит медиану BM пополам, точка O также является серединой медианы BM.

Следовательно, CO = 5√3 (так как медиана BM равна AK), и третья медиана, исходящая из вершины C, также равна 5√3.

Таким образом, длина третьей медианы равна 5√3.