Question

Докажите что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов

Answer 1

Многогранный угол составлен боковыми сторонами $n$-угольной пирамиды, в основании которой лежит выпуклый $n$-угольник. Рассмотрим одну из таких сторон. Докажем, что $\gamma$ (см. рисунок). Тогда $\cos\theta = \dfrac{\vec{d}\vec{e}}{|\vec{d}||\vec{e}|}$ и $\cos\gamma = \dfrac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{(\vec{d}+\vec{h})(\vec{e}+\vec{h})}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\vec{d}\vec{e}+h^2}{\sqrt{d^2+h^2}\sqrt{e^2+h^2}}$.  Вот сейчас будет немного муторно: $\dfrac{\cos\gamma}{\cos\theta} = \dfrac{\underbrace{\vec{d}\vec{e}}_{=s}+h^2}{s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}}$. Однако $s+h^2> s\sqrt{1+\dfrac{h^2}{d^2}}\sqrt{1+\dfrac{h^2}{e^2}}$, действительно, $1+\dfrac{2h^2}{s}+\dfrac{h^4}{s^2}>1+\dfrac{h^2}{e^2}+\dfrac{h^2}{d^2}+\dfrac{h^4}{e^2d^2}$, что верно, поскольку каждое слагаемое слева (кроме единицы) больше соответствующего слагаемого справа. Поэтому $\cos\gamma >\cos\theta \Rightarrow \gamma$. Теперь спроецировав вершину $O$ многогранного угла на плоскость (многоугольник), получим, что сумма плоских углов меньше суммы углов при вершине $O'$ проекции $O$, которая равна в точности $360^{\circ}$, что и требовалось.

Answer 2

Для начала давайте разберемся в терминологии.

Плоский угол - это угол, который лежит в одной плоскости и ограничен двумя лучами, исходящими из одной точки. Плоский угол измеряется в градусах, и его максимальная величина - 180 градусов.

Выпуклый многогранный угол - это часть поверхности выпуклого многогранника, которая ограничена несколькими ребрами многогранника и лежит в одной плоскости. Каждый угол многогранника ограничен двумя ребрами и лежит в одной плоскости. Эти углы могут быть плоскими или острыми, но они не могут быть тупыми, так как в выпуклом многограннике все углы острые.

Теперь давайте докажем, что сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Допустим, у нас есть выпуклый многогранный угол с n ребрами. Каждое ребро ограничивает плоский угол, который измеряется в градусах и не может быть больше 180 градусов. Поскольку угол в многограннике острый, то сумма всех плоских углов будет меньше суммы всех углов вокруг вершины многогранника.

Сумма всех углов вокруг вершины многогранника равна 360 градусам. Это следует из того, что вся сфера ограничена 360 градусами. Таким образом, сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла всегда меньше 360 градусов.

Это доказывает, что сумма всех плоских углов в выпуклом многогранном угле всегда меньше 360 градусов, и мы завершили доказательство.