Question

Из точки М проведён перпендикуляр МД = 6 см к плоскости квадрата АВСД. Наклонная МО образует с плоскостью квадрата угол 60º. О – точка пересечения диагоналей. Доказать, что ∆МОД – прямоугольный. Найти площадь квадрата.

Answer 1

Ответ:

Ответ:

Из точки М проведен перпендикуляр МD, равный 6 см., к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60°. Доказать, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные. Найдите сторону квадрата. Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.

рисунок к задаче 196 Угол между прямой и плоскостью - это угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. Т.е. ∠МВD=60°.

Рассмотрим наклонную МС, проекцию CD и прямую в проскости ВС. Угол ВСD прямой (угол квадрата). По теореме о трех перпендикулярах угол МСВ тоже равен 90 градусов. А треугольник МСВ прямоугольный. Аналогично треугольник МАВ тоже является прямоугольным.

MD перпендикулярна плоскости квадрата, а значит перпендикулярна и любой прямой (BD к примеру) в этой плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник МВD. В нем:

BD=MD * ctg60°

BD=6 * (корень из 3)/3 BD=2 корня из 3

Известно, что диагональ квадтрата больше его стороны в корень из 2 раз, поэтому:

АВ=BD/(корень из 2)

АВ=(2 корня из 3)/(корень из 2)=корень из 6

Две вершины треугольника АМВ уже лежат в плоскости АВСD, а точка М ортогонально спроектировна в точку D. Поэтому треугольник АBD является проекцией треугольника АМВ. SABD=1/2 * АВ2=3

Пошаговое объяснение:

Объяснение:

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник MOD является прямоугольным, мы можем воспользоваться свойствами геометрии. Для начала, давайте опишем данную ситуацию:

1. M - точка, из которой проведен перпендикуляр MD к плоскости квадрата ABCD.
2. O - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.
3. Дано, что угол MOA равен 60 градусов.

Для начала, мы можем найти угол MOD. Учитывая, что MOA = 60 градусов, и диагональ квадрата делит его угол пополам, у нас есть MOA/2 = 60/2 = 30 градусов.

Теперь мы знаем, что угол MOD равен 30 градусам.

Также, у нас есть прямоугольный треугольник MDO, где один из углов равен 90 градусов (из-за перпендикуляра), а другой равен 30 градусам, как мы только что установили. Это означает, что третий угол такого треугольника будет равен 180 - 90 - 30 = 60 градусов.

Таким образом, треугольник MOD имеет угол в 90 градусов, что делает его прямоугольным.

Теперь, чтобы найти площадь квадрата ABCD, мы можем использовать свойство прямоугольных треугольников. Мы знаем, что MD = 6 см, а MO - это половина диагонали квадрата ABCD. Поэтому MD = MO/2.

Давайте обозначим длину MO как x см. Тогда MD = x/2 = 6 см, и x = 12 см.

Теперь, мы можем найти длину диагонали квадрата ABCD. Диагональ равна двум MO, то есть 2 * 12 см = 24 см.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник MDO с известными сторонами MD и MO, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны AD квадрата ABCD:

AD^2 = MD^2 + MO^2 AD^2 = 6^2 + 12^2 AD^2 = 36 + 144 AD^2 = 180

Теперь мы можем найти AD, взяв квадратный корень из 180:

AD = √180 = 6√5 см

Теперь у нас есть длина одной стороны квадрата ABCD, и мы можем найти его площадь, возведя эту длину в квадрат:

Площадь квадрата ABCD = AD^2 = (6√5)^2 = 6^2 * (√5)^2 = 36 * 5 = 180 квадратных см.

Итак, площадь квадрата ABCD равна 180 квадратных см, и треугольник MOD действительно является прямоугольным.