Question

У трикутнику ABC (C=90°) АС=14 см, sinA= 24/25 Знайдіть периметр трикутника. Помогите пж это кр с геометрии:/

Answer 1

Відповідь: 112 см.

_______________________________________

Дано:

∠C = 90°,

АС = 14 см,

$\displaystyle sin \angle A = \frac{24}{25}$.

__________

$P_{ABC}$ — ?

                                           Розв'язання:

• Спосіб № 1:

Синус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи:

$\displaystyle sin\angle A = \frac{CB}{AB}$

Значить, CB відноситься до АВ як 24 : 25. Нехай коефіцієнт пропорційності х, тоді:

СВ = 24х, АВ = 25х.

За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи:

AC² + СВ² = АВ²

Підставимо у формулу отримані значення:

14² + (24х)² = (25х)²

196 + 576х² = 625х²

196 = 625х² - 576х²

196 = 49х²

х² = 196 : 49

х² = 4

х = √4

х = 2

СВ = 24 · 2 = 48,

АВ = 25 · 2 = 50.

Знайдемо периметр трикутника (це сума всіх його сторін):

$P_{ABC} = AB + CB + AC = 50 + 48 + 14 = 112$ (см).

• Спосіб №2:

Використаємо основну тригонометричну тотожність:

$sin^2\angle A + cos^2\angle A = 1$

$\displaystyle cos^2\angle A = 1 - sin^2\angle A = 1 - (\frac{24}{25}) ^2 = 1 - \frac{576}{625}=\frac{625}{625}- \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$

$\displaystyle cos \angle A = \sqrt{\frac{49}{625} } = \frac{7}{25}$ (оскільки ∠А гострий, значення його косинуса має бути додатнє, тож перед коренем ставимо знак "плюс").

Косинус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи:

$\displaystyle cos \angle A = \frac{AC}{AB}$

Звідси, $\displaystyle AB = \frac{AC}{ cos \angle A } = 14 : \frac{7}{25}= 14 \cdot \frac{25}{7}= \frac{14\cdot 25}{7} = 2\cdot 25 = 50$

Синус гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи:

$\displaystyle sin\angle A = \frac{CB}{AB}$

Звідси, $\displaystyle CB = AB \cdot sin \angle A = 50 \cdot \frac{24}{25}= \frac{50 \cdot 24}{25}= 2 \cdot 24 = 48$ (см).

$P_{ABC} = AB + CB + AC = 50 + 48 + 14 = 112$ (см).

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі вам потрібно використовувати властивості правильного прямокутного трикутника (трикутника з одним прямим кутом).

Ми вже знаємо довжину сторони AC, яка дорівнює 14 см, і sin(A) = 24/25.

Спершу знайдемо довжину сторони AB, яка протилежна куту A, використовуючи trigonometry. З формули sin(A) = протилежна сторона / гіпотенуза, ми можемо записати:

sin(A) = AB / AC

24/25 = AB / 14

Тепер знайдемо AB:

AB = (24/25) * 14 = 336/25 см

Тепер, ми можемо використовувати теорему Піфагора для знаходження довжини сторони BC, яка є гіпотенузою:

BC^2 = AC^2 + AB^2 BC^2 = 14^2 + (336/25)^2 BC^2 = 196 + (336/25)^2 BC^2 = 196 + (336^2 / 25^2) BC^2 = 196 + (112896 / 625)

Тепер обчислимо BC:

BC = √(196 + (112896 / 625)) ≈ √(784 + 180.6336) ≈ √964.6336 ≈ 31.07 см

Тепер ми знаємо довжини всіх трьох сторін трикутника: AC = 14 см, AB = 336/25 см і BC = 31.07 см.

Периметр трикутника дорівнює сумі довжин всіх його сторін:

Периметр = AC + AB + BC = 14 + 336/25 + 31.07 ≈ 14 + 13.44 + 31.07 ≈ 58.51 см

Отже, периметр трикутника дорівнює приблизно 58.51 см.