Question

Докажите что две хорды окружности которые не проходят через её центр пересекаясь не могут делиться пополам. Помогите пожалуйста. Дам 30 баллов

Answer 1

Рассмотрим хорды как диагонали вписанного четырехугольника. Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник - параллелограмм и его противоположные углы равны. Так как четырехугольник вписанный, сумма противоположных углов 180°. Следовательно, эти углы по 90°. Значит, они опираются на диаметр.

Доказали, что вписанный параллелограмм - прямоугольник, диагонали являются диаметрами.

Соответственно, если хорды не проходят через центр, не являются диаметрами, то противоположные углы четырехугольника не прямые, не равные, а значит четырехугольник не параллелограмм и не может иметь признак параллелограмма - его диагонали не могут точкой пересечения делиться пополам.

Answer 2

Давайте рассмотрим окружность с центром O и две хорды AB и CD, которые не проходят через центр окружности и пересекаются в точке P.

Чтобы доказать, что эти хорды не могут делиться пополам, предположим, что они действительно делятся пополам, то есть точка P является центром окружности, проходящей через точки A, B, C и D.

Теперь рассмотрим треугольники ACP и BDP. Поскольку P является центром этой вымышленной окружности, AP и BP - это радиусы этой окружности.

1. Радиус AP равен радиусу окружности, так как он соединяет центр окружности O с точкой на окружности (точкой A).
2. Радиус BP равен радиусу окружности, так как он соединяет центр окружности O с точкой на окружности (точкой B).

Таким образом, радиусы AP и BP равны и имеют одну и ту же длину. Это означает, что треугольники ACP и BDP равны по сторонам AP, BP и общему углу при вершине P.

Теперь давайте рассмотрим угол CAP и угол BDP:

1. Угол CAP - это угол, образованный хордой AC и радиусом AP.
2. Угол BDP - это угол, образованный хордой BD и радиусом BP.

Поскольку треугольники ACP и BDP равны по сторонам и общему углу, то угол CAP и угол BDP также должны быть равными. Однако это означает, что хорда AC и хорда BD образуют равные центральные углы, которые опираются на одну и ту же дугу CD окружности.

Но это противоречит базовому свойству окружности, что хорды, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны по длине только в том случае, если они равноудалены от центра окружности. Так как хорды AC и BD не проходят через центр окружности и не равноудалены от него, они не могут быть равными.

Таким образом, наше предположение о том, что хорды AC и BD делятся пополам, неверно, и хорды, которые не проходят через центр окружности и пересекаются, не могут делиться пополам.