Question

Основа прямої призми рівнобедрений трикутник, у якого висота, проведена до основи дорівнює 8 см. Діагональ бічної грані, яка містить бічну сторону трикутника, дорівнює 10√2 см і утворює з площиною кут 45о . Знайти: а) бічне ребро призми; б) бічну поверхню призми; в) повну поверхню призми.

Answer 1

Ответ:

а) боковое ребро призмы равно 10 см.

б) площадь боковой поверхности призмы равна 320 см²

в) площадь полной поверхности призмы равна 416 см²

Объяснение:

Пусть дана прямая призма $ABCA_{1} B_{1}C_{1}$.

Основание призмы Δ АВС- равнобедренный( АС = ВС) .

СМ - высота, проведенная к основанию АВ, СМ=8 см.

Диагональ боковой грани $BC_{1}=10\sqrt{2}$ cм и образует $\angle{}C_{1} BC =45^{0} .$

Надо найти:

а) боковое ребро призмы;

б) боковую поверхность призмы;

в) площадь полной поверхности призмы.

а) Так как призма прямая, то Δ $C_{1} CB-$ прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Тогда, если  $\angle{}C_{1} BC =45^{0} ,$ то $\angle{}BC_{1} C =90^{}- 45^{0}=45^{0} .$

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный и $BC= CC_{1}$

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

$sin\angle{}C_{1} BC =\dfrac{CC_{1} }{BC_{1} } ;\\\\sin 45^{0} =\dfrac{CC_{1} }{10\sqrt{2} } ;\\\\\dfrac{\sqrt{2} }{2} =\dfrac{CC_{1} }{10\sqrt{2} };\\\\CC_{1} =\dfrac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} }{2} =10$

$BC= CC_{1}=10$ см.

Значит, боковое ребро призмы равно 10 см.

б) Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Найдем периметр равнобедренного треугольника АВС.

Рассмотрим ΔСМВ - прямоугольный, так как по условию СМ - высота, проведенная к основанию. СМ - медиана и биссектриса.

По теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$BC^{2} =CM^{2} +MB^{2} ;\\MB^{2} =BC^{2} -CM^{2};\\MB= \sqrt{BC^{2} -CM^{2}};\\MB=\sqrt{10^{2}-8^{2} } =\sqrt{100-64} =\sqrt{36} =6$ см.

Тогда $AB= 2\cdot 6 =12$ cм

$P= AB+BC+AC ;\\P= 12+10+10=32$ cм

Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть 10 см

Тогда площадь боковой поверхности призмы будет

$S= P\cdot H;\\P= 32\cdot 10 =320$ см²

в) найдем площадь полной поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить удвоенную площадь основания.

Найдем площадь треугольника как полупроизведение стороны на высоту. проведенную к этой стороне

$S= \dfrac{1}{2} \cdot AB\cdot CM;\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot 12\cdot 8=6\cdot8=48$

Значит, площадь основания призмы равна 48 см².

Тогда площадь полной поверхности:

$S =320+2\cdot 48=320+96= 416$ см²

#SPJ1

Answer 2

Для вирішення цієї задачі варто розглянути трикутник, який утворює основу прямої призми, і використовувати властивості трикутників та прямих призм.

а) Бічне ребро призми: Спочатку ми можемо знайти довжину бічної сторони трикутника, використовуючи відому висоту та кут. Для цього можна використовувати тригонометричний тангенс (тангенс кута дорівнює відношенню протилежної сторони до прилеглої):

tan(45°) = висота / бічна сторона трикутника 1 = 8 см / бічна сторона трикутника бічна сторона трикутника = 8 см

Тепер, оскільки цей трикутник є рівнобедреним, бічні сторони рівні між собою, і отже, довжина бічного ребра призми дорівнює 8 см.

б) Бічна поверхня призми: Бічна поверхня призми складається з двох таких рівнобедрених трикутників та двох прямокутників, що між ними. Один з цих трикутників має висоту 8 см та бічну сторону 8 см (за пунктом а)), а інший має такі ж параметри, тому:

Площа одного трикутника = (1/2) * висота * бічна сторона = (1/2) * 8 см * 8 см = 32 кв. см

Оскільки є два таких трикутники, загальна площа бічних трикутників = 2 * 32 кв. см = 64 кв. см

Тепер, давайте знайдемо площу двох прямокутників. Діагональ бічної грані, яка містить бічну сторону трикутника, дорівнює 10√2 см, а бічна сторона трикутника (відома з пункту а)) дорівнює 8 см. Отже, довжина прямокутника, який є бічною гранню призми, дорівнює:

довжина прямокутника = 10√2 см ширина прямокутника = 8 см

Площа одного прямокутника = довжина * ширина = (10√2 см) * (8 см) = 80√2 кв. см

Оскільки є два таких прямокутники, загальна площа бічних прямокутників = 2 * 80√2 кв. см = 160√2 кв. см

Отже, загальна бічна поверхня призми = площа бічних трикутників + площа бічних прямокутників = 64 кв. см + 160√2 кв. см ≈ 313.14 кв. см

в) Повна поверхня призми: Повна поверхня призми складається з бічної поверхні та двох основ. Основа прямої призми - це рівнобедрений трикутник, і ми знаємо його висоту і бічну сторону. Отже, можемо знайти його площу:

Площа основи = (1/2) * висота * бічна сторона = (1/2) * 8 см * 8 см = 32 кв. см

Так як у призми є дві такі основи, загальна площа основ = 2 * 32 кв. см = 64 кв. см

Тепер, щоб знайти повну поверхню призми, додамо площу бічної поверхні та площу основ:

Повна поверхня призми = бічна поверхня + 2 * площа основи = 313.14 кв. см + 2 * 64 кв. см = 441.14 кв. см

Отже, бічне ребро призми дорівнює 8 см, бічна поверхня призми - приблизно 313.14 кв. см, і повна поверхня призми - приблизно 441.14 кв. см.